Ортогональная матрица.

Пусть элементы матрицы В = удовлетворяют условиям m₁²+n₁²=1; m₂²+n₂²=1; m₁n₁+m₂n₂=0, тогда

BB^t= = =E и B^tB=E,

то есть транспонированная матрица совпадает с обратной. Тогда матрица В называется ортогональной.

Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду.

Квадратичной формой переменных х₁, х₂ называется выражение

(x_1, x₂)=a₁₁x₁²+2a₁₂x₁x₂+a₂₂x₂² (6).

Канонический вид квадратичной формы

^*(x_1, x₂)=₁ x₁²+₂x₂² . (7)

Рассмотрим матрицы квадратичных форм (6) и (7)

А = , В= и вектор .

Матричная запись квадратичной формы (6)

(x_1, x₂)= A ,

и соответственно для формы (7)

^*(x_1, x₂)= В .

Теорема. Квадратичная форма с матрицей А является канонической в базисе ē₁, ē₂ , где ē₁, ē₂ - единичные, взаимно перпендикулярные собственные векторы матрицы А.

Действительно, (x_1, x₂)= A , в базисе .

Перейдем от базиса к базису (ē₁, ē₂), тогда формулы перехода

=B ’, где В= - матрица из координат собственных векторов.

В новом базисе ē₁, ē₂ матрица B^-1AB= , где λ₁ ,λ₂ соответствующие собственные значения, отсюда следует ^*(x_1, x₂)= =₁x’₁²+x’₂².

Приведение общего уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду.

Общее уравнение линии 2-го порядка

a₁₁x₁²+2a₁₂x₁x₂+a₂₂x₂² +2a₁₃x₁+2a₂₃x₂+a₃₃=0.

По группе старших членов составляем определитель

= , a₁₂₌a_21, =a₁₁a₂₂-a₁₂².

1. δ > 0 – кривая эллиптического типа

2. δ < 0 – кривая гиперболического типа

3. δ = 0 – кривая параболического типа

Схема приведения кривой к каноническому виду:

1. По группе старших членов составляем матрицу А= .

2) Характеристическое уравнение |A – λ E| = 0.

Определяем собственные значения и собственные векторы матрицы А.

А ē = λ ē (ē₁(m₁,n₁) и ē₂(m₂,n₂), I ē₁I= I ē₂I=1).

3) Cоставляем матрицу перехода к новому базису В = .

4) Выписываем преобразование координат при повороте осей координат =B ’.

5) В новом базисе ē₁, ē₂ группе старших членов соответствует λ₁X’₁ ²+ λ₂X’ ₂².

6) Выделяем полные квадраты членов с каждой из координат, так определяем центр, в случае центральных кривых и вершину в случае параболы.

7) Строим график кривой.

Задачи на темы ”Собственные векторы ”, “Приведение кривой к каноническому виду”.

Пример 1. Найти собственные числа и собственные вектора матрицы

А= .

Решение. 1. Решим характеристическое уравнение IА-ЕI=0. В нашем случае оно имеет вид:

=0, то есть ²-13+22=0.

Собственными числами являются корни характеристического уравнения ₁=2, ₂=11.

2. Собственный вектор ₁, соответствующий числу ₁=2, является базисом в пространстве решений однородной системы

.

Эта система состоит из двух одинаковых уравнений, где неизвестные x₁, x₂ связаны зависимостью

5x₁+4x₂=0, или x₁= x₂.

Положив параметрическую неизвестную x₂ равную произвольной константе, например 1, получим x₁= и собственный вектор ₁= .

3. Для собственного вектора ₂, соответствующую ₂=11, составим систему

.

Решая ее, придем к соотношению x₁-x₂=0, или x₁=x₂.

Положив x₂=1, получим ₂= .

Пример 2. Привести уравнение кривой 5х₁² + 8х₁х₂ + 5х₂² – 18х₁ – 18х₂ + 9 = 0 к каноническому виду. Решение. Составляем определитель δ = =25-16=9>0. Следовательно, кривая эллиптического типа.

1. Матрица группы старших членов А = .

2. Характеристическое уравнение: IА-ЕI=0, =0.

Отсюда ( 5-λ)² – 16 = 0 λ₁=9; λ₂=1.

при ₁=9 , следовательно, при m=n {1;1}, I I= , ,

при ₂=1 , следовательно, при m= - n {-1;1}, I I= , ,

3. Матрица перехода к новому базису В = .

4. Преобразование координат при переходе к новому базису

=B ’ или = ,

формулы преобразования поворота осей координат (перехода к новому базису):

.

5. В новом базисе уравнение линии

,

,

,

6. В новой системе координат центр в точке О₁( ; 0), полуоси а=1, b=3.

7. Cтроим график кривой.