Общее решение системы линейных уравнений.

Теперь мы можем собрать воедино наши результаты.

Теорема. Если – фундаментальная система решений системы (7), а - некоторое частное решение системы (6), то общее решение системы линейных алгебраических неоднородных уравнений (6):

(8), при любых с₁, с₂,…с_n-r.

Наоборот, для каждого решения этой системы найдутся такие числа с₁, …с_n-r, при которых решение имеет вид (8) или в развернутом виде:

(9).

Выражение, стоящее в правой части равенства (9), называется общим решением системы линейных неоднородных уравнений (6).

Задачи на тему “Системы линейных алгебраических уравнений”.

Определить размерность пространства решений, найти базис (фундаментальную систему решений) и общее решение следующих систем:

1) , 2) ,

3) , 4) .

Для каждого из рассматриваемых случаев составим матрицу системы, с помощью элементарных операций преобразуем ее к приведенной форме, то есть, последовательно сформируем на главной (или смещенной) диагонали единицы, а выше и ниже диагонали нули. После чего, определим ранг и найдем решение системы.

1) А= ~^C₂^-C_1, ^C₃^-C₁ ~^C₂^{;(-2), C}₃^(-2) ~ .

Вторым элементом главной диагонали является ноль, а нам нужен не нулевой элемент, чтобы получить на диагонали единицу, поэтому здесь необходимо рассмотреть смещенную диагональ. Элементарными преобразованиями С₁-С₂ и С₂-С₃ преобразуем эту матрицу к приведенной форме:

A~ .

Отсюда, ранг исследуемой матрицы А: r(A)=3.

Пространство решений имеет размерность L=n-r=4-3=1,где n=4-число неизвестных системы, и содержит один базисный вектор . Чтобы найти базисный вектор, восстановим по приведенной матрице систему:

,

и выразим базисные неизвестные x₁, x₃, x₄, соответствующие элементам смещенной диагонали, через параметрическое неизвестное x₂;

.

В полученной системе положим x₂=1, будем иметь:

= , .

Базисный вектор

Пространство решений однородной системы .

2) A= ~ ^C₃^-C_1, ^C₄^-2C₁ ~

~^C₃^+C_2, ^C₄^+C₂ ~ .

Таким образом, ранг матрицы А: r(A)=2, размерность пространства решений L=6-2=4.

Восстановим по последней матрице систему:

и выразим базисные неизвестные x₁, x₂ через параметрические x₃, x₄, x₅, x₆:

.

Найдем теперь фундаментальную систему решений, состоящую из четырех(L=4) векторов, полагая,

для ₁: x₃=1, x₄=0, x₅=0, x₆=0;

для ₂: x₃=0, x₄=1, x₅=0, x₆=0;

для ₃: x₃=0, x₄=0, x₅=1, x₆=0;

для ₄: x₃=0, x₄=0, x₅=0, x₆=1,

имеем:

₁= , ₂= ₃= ₄= и =C₁ +C₂ +C₃ +C₄ ; C₁ ,C₂, C₃, C₄ R.

Пространство решений однородной системы, являющееся линейной комбинацией базисных векторов.

Фундаментальная система решений.

3. A= ~^C₂^+C₁ ~ ,

r(A)=1, L=3-1=2.

Восстановим систему и выразим единственную базисную неизвестную x₁ через параметрические x₂, x₃;

X₁=-2x₂+x₃.

Теперь полагая

для ₁: x₂=1, x₃=0

для ₂: x₂=0, x₃=1, получим:

₁= , ₂= и C₁,C₂ R.

Фундаментальная система решений.

Пространство решений.

3. A= ~ ^C₁^-C_2, ^C₃^-C₂ ~ ^C₂^-2C_1, ^C₃^-C₁ ~ ~^C₂^-5C₃ ~ ~ ^C₁^+3C_2, ^C₃^-2C₂ ~^C₃^:(-3) ~ ~ ^C₁^-4C_3, ^C₂^-2C₃ ~ .

Ранг матрицы А однородной системы r(A)=3. Пространство решений имеет размерность L=3-3=0 и поэтому не содержит базисных векторов и состоит только из нулевого вектора:

= .