Лекция 6. Системы линейных алгебраических уравнений. Однородные системы линейных уравнений.

Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных

называется матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец , называемый столбцом свободных членов.

Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы

В= .

Если свободные члены всех уравнений равны нулю, то система называется однородной.

Определение. Совокупность n чисел х₁⁰,х₂⁰,…х_n⁰ называется решением системы (1), если каждое уравнение системы обращается в числовое равенство после подстановки в него чисел (х₁⁰,х₂⁰,…х_n⁰) вместо соответствующих неизвестных (х₁,х₂,…х_n ).

Системы, не имеющие решений, называются несовместными, а имеющие решения – совместными.

Методы решения системы линейных алгебраических уравнений.

1. Правило Крамера.

Система из n линейных уравнений с n неизвестными

(1)

в случае, когда детерминант (определитель) матрицы системы отличается от нуля, имеет решение, и притом только одно. Это решение находится по формулам:

x_i= (для всех I=1,2,…,n), где через  обозначен определитель матрицы системы, а через x_i- определитель, получаемый из определителя системы заменой I- того столбца столбцом свободных членов, то есть

x_i= , i=1,2,…,n.

2. Решение системы методом обратной матрицы.

Рассматривается система вида (1) из n линейных уравнений с n неизвестными. Пусть определитель системы не равен нулю. Представим систему (1 ) в матричном виде

AX=B (2), где

матрица системы

матрица-столбец неизвестных

матрица-столбец свободных членов

, , .

Так как det(A)0, то для матрицы А существует обратная матрица А^-1. Умножим обе части уравнения (2 ) слева на А^-1, получим решение системы (1) в матричном виде:

X=A^-1B. (3)

3. Метод Гаусса.

С помощью элементарных преобразований строк приведем матрицу размера nn к треугольному виду:

Затем начинается, так называемый “обратный ход”: из последнего уравнения системы определяется x_n , подставляем это значение в предпоследнее уравнение, определяем x_n-1 и так далее, пока из первого уравнения не определим x₁.

Пример. Дана система:

Найти решение: 1. по формулам Крамера,

2. методом обратной матрицы ,

3. методом Гаусса.

Решение:1. по формулам Крамера:

=det(A)= =1 -2 -1 =-18 0.

x₁= = -3 -2 -1 =-18 , x₁= =1.

x₂= =1 +3 -1 =18 , x₂= = -1.

x₃= =1 -2 -3 = -36 , x₂= = 2.

Ответ:{1; -1;2}.

2. методом обратной матрицы.

=det(A)= = -18 .

Так как det(A)0, то по теореме об обратной матрице, определена.

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя det(A):

A11= = -5	A21= - =-7	A31= =1
A12=- = -3	A22= =3	A32=- = -3
A13= =7	A23=- = -1	A33= = -5

Строим союзную матрицу :

= .

Следовательно, =

Итак, решением системы будет

X=A^-1B= = = , отсюда x₁=1, x₂=-1, x₃=2.

3. методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу системы:

C= ~^C₂^-2C₁, ^C₃^-C₁ ~^C₂^+5C₃ ~^C₃^:18

Получаем систему треугольного вида:

x ₁ + 2x₂ – x₃ = -3

-5x₂ + 3x₃ = 11

x₃ = 2

Отсюда x₃=2

-5x₂+6=11  x₂= -1,

x₁+2x₂-x₃= -3 x₁-2-2=-3, x₁=1.

Ответ:{1; -1;2}

Замечание: C помощью элементарных преобразований, матрицу А можно привести к диагональному виду, а затем к единичной матрице.

Продолжим преобразование матрицы С:

~^C₁^+C₃, ^C₂^-3C₃ ~^C₂^:(-5) ~^C₁^-2C₂ .

Отсюда x₁=1, x₂=-1, x₃=2.