Элементарные преобразования матриц.

К элементарным преобразованиям матриц относятся следующие преобразования:

1. Умножение строки на число, отличное от нуля.

2. Прибавление к одной строке другой строки.

3. Перестановка строк.

4. Те же преобразования столбцов.

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы (базисный минор сохраняется в виде, отличном от нуля).

Задачи на тему “Матрицы”.

1. Найти матрицу С=3А^-2В, где

А= , B= .

1. Найдем транспонированную матрицу А^. Для этого в матрице А поменяем местами строки и столбцы:

А^= .

2. Все элементы матрицы А^ умножим на 3, а элементы матрицы В на 2, получим:

3A^= , 2B= .

3. Матрица С есть результат вычитания от элементов матрицы 3А^ соответствующих элементов матрицы 2В:

C= .

2. Найти произведение матриц АВ:

   1. A= , B= ;

   2. A= , B= ;

   3. A= , B= ;

   4. A= , B= .

Заметим, что во всех случаях рассматриваемой задачи, для матриц АВ выполнено условие согласования, то есть, количество столбцов матрицы А совпадает с количеством строк матрицы В, следовательно, АВ определена.

1. Так как А(2 3), В(3 2), то АВ(2 2) и

АВ= = = = .

2. Так как А(2 3), В(3 1), то АВ(2 1) и

АВ= = = .

3. Так как А(1 3), В(3 2), то АВ(1 2) и

АВ= = =(15 11).

4. Так как А(2 3), В(3 3), то АВ(2 3) и

АВ= .= = EMBED Equation.3 .

3. Найти А³, если А= .

Возведение в третью степень матрицы А означает умножение ее трижды на саму себя, то есть А³=ААА.

Вначале найдем А²:

AA= = .

Теперь А³=А²А= = .

4. Найти АВС, если

А= , B= , C= .

В силу свойства ассоциативности матриц: АВС=(АВ)С=А(ВС).

Выбор последовательности умножения матриц зависит от простоты вычислений. Так, если вначале умножать матрицу А(4 3) на В(3 2), то образуется матрица АВ размера (4 2), а если перемножать В (3 2) и С(2 1), то получится матрица ВС размера (3 1) и содержащая меньше искомых элементов, чем АВ.

Находим ВС:

BC= = .

Теперь АВС=А(ВС)=

= = .

5. Дана матрица А:

A= .

Найти обратную матрицу .

Вычислим определитель матрицы А, разложив его по второй строке:

det(A)= =-3 -2 =-4.

Так как det(A)0, то по теореме об обратной матрице, определена.

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя det(A):

A11= =4	A21=- =-8	A31= =4
A12=- =-7	A22= =9	A32=- =-5
A13= =-6	A23=- =10	A33= =-6

Строим союзную матрицу :

= .

Следовательно, = = .

6. Найти ранг и базисные миноры матрицы А:

   1. A= ,

   2. A= .

1. Вычеркнув из матрицы А нулевые второй, третий столбец и вторую строку, получим матрицу, эквивалентную заданной:

A~ . Так как =260, то ранг исходной матрицы равен 2.

Базисными минорами исходной матрицы являются миноры второго порядка, отличные от нуля:

, , .

2. Производя последовательно элементарные преобразования, будем иметь:

A~^C₃^+C₂ ~^C₁^-C₃ ~ .

Вычеркнем нулевые первую строку и второй столбец и продолжим преобразования:

A~ ~^C₂-^5C_{1 .}

Ранг последней матрицы равен 2, так как, например, =30.

Следовательно, ранг исходной матрицы равен 2, а базисные миноры имеют второй порядок:

, , , , , , , , , , , , , , .

7. Выяснить, является ли система арифметических векторов линейно зависимой или линейно независимой.

1. {-3 1 5 2}, {-6 2 10 4},

2. {2 –3 1}, {3 –1 5}, {1 –4 3},

3. {0 1 1 -1}, {1 2 0 1}, {2 3 –1 3}, {-1 0 2 –3}.

1. Замечаем, что =2 . Отсюда имеем, что линейная комбинация ₁ +₂ =0, если ₁=2, ₂=-1. Следовательно, вектора и линейно зависимы по определению.

Случаи 2. и 3. не являются тривиальными, и для их изучения будем использовать критерий линейной зависимости (независимости) векторов: Система векторов линейно зависима (независима) тогда и только тогда, когда ранг матрицы А, составленной из элементов данной системы векторов, меньше (соответственно равен) числа векторов системы.

2. Составим матрицу А, элементарными преобразованиями приведем ее к ступенчатому виду и подсчитаем ранг:

A= ~^C₂^+C₁ ~^C₃^+C₂ ~^C₁^+2C₂ ~^C₁^C₂ ~ .

Ранг матрицы А равен трем, поскольку минор =35 0. Число векторов системы совпадает с рангом, следовательно, исходная система линейно независима.

3. Аналогично предыдущему, составим и преобразуем матрицу А:

A= ~^C₁^-C₄ ^{, C}₃^-C₂ ~^C₂^-C₁, ^C₄^+C₁ ~ ~^C₃^+C₂ ~^C₄^-0,5C₂ ~^C₃^+2C₄ ~ ~ ~ .

Ранг матрицы А равен 3, так как, например, минор

=-40.

Число векторов системы равно 4 и не совпадает с рангом, следовательно, исходная система линейно зависима.