5. Обратная матрица.

Пусть матрица А – квадратная, порядка n. Левой обратной матрицей по отношению к матрице А называется матрица того же порядка n, удовлетворяющего равенству

А = Е.

Аналогично определяется правая обратная матрица , удовлетворяющая равенству: А =Е.

Если левая и правая обратные матрицы совпадают , то это есть обратная матрица:

= =А^-1

Условием существования обратной матрицы для данной квадратной матрицы является условие d(А)≠0, т.е. матрица не особая. Если матрица А имеет обратную, то эта матрица единственная.

Как найти обратную матрицу:

1.Пусть дана матрица и d(А)≠0.

2.Союзная матрица - это транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов данной матрицы. Элементу а_iк соответствует алгебраическое дополнение А_iк, тогда

и обратная матрица .

Известно, что сумма произведений элементов некоторого ряда на их алгебраические дополнения равна определителю, а сумма произведений элементов некоторого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого ряда равна нулю, поэтому

А^-1 А= = =E.

Свойства столбцов матрицы а.

Пусть матрица А = , 1 i m, 1 k n.

Определение. Система из s столбцов ,…, матрицы А называется линейно зависимой если существует набор чисел одновременно не равных нулю, для которых линейная комбинация равна нулю

.

В противном случае система столбцов ,…, линейно независимая, т.е. линейная комбинация равна нулю только при всех коэффициентах одновременно равных нулю.

Предложение 1. Система столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных.

Предложение 2 . Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то система линейно зависима.

Предложение 3. Если в системе из k столбцов к-1 столбцов линейно зависимы, то и k столбцов линейно зависимы.

Предложение 4 . Любые столбцы, входящие в линейно независимую систему, сами по себе образуют линейно независимую систему.

Предложение 5 . Если столбец есть линейная комбинация столбцов ,…, , то он является также линейной комбинацией любой системы столбцов, содержащей ,…, .

Предложение 6. Если А квадратная матрица и detА= 0, то один из столбцов есть линейная комбинация остальных столбцов.

Базисный минор.

Определение. В матрице А размером m n минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка равны нулю, или миноров порядка вообще нет, т.е. r совпадает с n или m.

Определение. Ранг – это порядок базисного минора, или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Обозначение ранга r( А).

Дадим еще одно определение ранга:

Определение. Матрица А имеет ранг к_о, если среди миноров порядка к_о есть хотя бы один отличный от нуля, а все миноры более высокого порядка (к_о+1 и т.д.) равны нулю.

Основные теоремы.

Теорема 1. В произвольной матрице А каждый столбец, не входящий в ее базисный минор, является линейной комбинацией столбцов, в которых расположен базисный минор.

Теорема 2. (о ранге матрицы). Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы.