Лекция 5. Линейная алгебра. Матрицы.

Определение. Матрицей размера m x n называется совокупность элементов (чисел), расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:

или короче: , 1 m, 1 n, где i – номер строки, j-номер столбца.

Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк ее порядком. Остальные матрицы носят название прямоугольных.

Обозначаются матрицы заглавными буквами русского и латинского алфавитов.

Частные виды матриц:

1. Матрица с любым числом строк и столбцов, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей ,

2. Матрица - строка В=(b₁, b₂, … b_n),

3. М атрица - столбец

4. Детерминант квадратной матрицы – это ее определитель: .

5. Элементы образуют главную диагональ матрицы.

6. Диагональная матрица – это квадратная матрица, у которой все элементы равны нулю, за исключением, быть может, элементов главной диагонали.

или .

7. Если все λ_i = 1, i = 1,2…n , то диагональная матрица называется единичной и обозначается:

.

Определение.

1. Матрицы А и В называются матрицами одинаковых размеров, если соответственно равны числа строк и столбцов, т.е. их порядки равны.

2. Две матрицы называются равными. Если они имеют одинаковые размеры и равны. их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Линейные операции над матрицами.

1. Сложение матриц.

Суммой двух прямоугольных матриц А и В, имеющих одинаковые размеры, называется матрица С, элементами которой являются суммы соответствующих элементов матриц А и В .

С = А + В , где А = , B= , C= , c_ik=a_ik+b_ik , 1 i m, 1 k n .

Сложение матриц подчиняется следующим законам:

1. А+В = В+А (коммутативность),

2. А+(В+С) = (А+В)+С (ассоциативность),

3. Если 0-ноль матрица, то А+О = А.

Разность двух матриц определяется как алгебраическая сумма матриц.

Матрицу (-1)А называют противоположной матрице А и обозначают –А. Она обладает тем свойством, что А+(-А)=0.

2. Умножение матрицы на число.

Матрица С = , элементы которой 1 i m, 1 k n, (с_ik) равны произведению элементов а_ik матрицы А на число , называется произведением А на и обозначается αА.

Мы имеем c_ik = а_ik .

Умножение матрицы на число подчиняется следующим законам:

α(А+В) = αА+αВ; (α+β)А=αА+βА; (αβ)А=α(βА).

3. Транспонирование матриц.

Если в данной матрице А, поменять местами столбцы и строки, то получают транспонированную матрицу А^t.

Симметричная матрица – это квадратная матрица, совпадающая со своей транспонированной матрицей.

А = , A^t= , a_ik=a_ki, 1 i n, 1 k n, то есть A^t=A.

4. Умножение матриц.

Произведение матриц А и В обозначается С=АВ. В общем случае АВ ≠ ВА.

Пусть матрица А= , 1 i m, 1 k n размера mn, B= 1 k n, 1 j p размера np.

Произведением АВ назовем матрицу С= , 1 i m, 1 j p (размера mp), элементы которой определяются по правилу:

Свойства произведения матриц.

Если для некоторых матриц АВ=АВ, то матрицы А и В называются коммутативными или перестановочными. Например, ЕА=АЕ=А, где Е единичная матрица, А- квадратная матрица.

Операция умножения матриц подчиняется сочетательному и распределительному законам умножения:

1. (АВ)С=А(ВС);

2. А(В+С)=АВ+АС;

3. (А+В)С=АС+ВС.