11. Место натуральных чисел в развитии математики.

Физический смысл. Материальные модели. Абак и счёты.

Числа и пространственное расположение предметов. Цитата из Лагранжа: «Один древний говорил, что Арифметика и Геометрия – крылья математики. Я считаю, что можно сказать без метафоры, что эти две науки являются основой и сущностью всех наук, изучающих величины. Но они служат не только основой, они служат, так сказать, ещё и дополнением. Так как когда находят результат, то, чтобы суметь его использовать, необходимо перевести его в числа или линии; чтобы перевести его в числа, нужна помощь Арифметики; чтобы перевести его в линии, нужна помощь Геометрии».

Наиболее явная связь математики с практикой.

Зачатки всех теорий. Немецкий математик Кронекер сказал, что натуральные числа создал Бог, а всё остальное создали математики. Обобщения числа. Алгебра как язык арифметики. Теория уравнений и неравенств.

Последовательности, величины, функции.

Сложная теория систем счисления. Цитата из Лапласа: «Мысль выражать все числа десятью знаками, придавая им кроме значения по форме, ещё значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко прийти к этому способу, мы ясно видим на примере величайших гениев греческой учёности, Архимеда и Аполлония, для которых эта мысль осталась скрытой».

Первое число можно разделить с остатком на второе (например, последовательно вычитая число b из числа а). В результате будет получено выражение вида a = b∙q + r, где r < b. Запишем частное в позиционной системе счисления:

q = q_k·10^k + q_{k – 1}·10^{k – 1} + … + q₂·10² + q₁·10¹ + q₀·10⁰.

Тогда a = b∙q + r = b∙( q_k·10^k + q_{k – 1}·10^{k – 1} + … + q₂·10² + q₁·10¹ + q₀·10⁰) + r = (b∙10^k)·q_k + (q_{k – 1}·10^{k – 1} + … + q₂·10² + q₁·10¹ + q₀·10⁰ + r) = (b∙10^k)·q_k + r_k, где r_k = q_{k – 1}·10^{k – 1} + … + q₂·10² + q₁·10¹ + q₀·10⁰ + r.Отметим, что поскольку для младших разрядов частного выполняется неравенство q_{k – 1}·10^{k – 1} + … + q₂·10² + q₁·10¹ + q₀·10⁰ < 10^k, а для остатка неравенство r < b, получаем при k > 0 и b > 1, что b∙10^k > 10^k + b > (q_k·10^k + q_{k – 1}·10^{k – 1} + … + q₂·10² + q₁·10¹ + q₀·10⁰) + r = r_k.

Итак, получено выражение а = (b∙10^k)·q_k + r_k, смысл которого состоит в том, что при делении с остатком числа а на число b∙10^k (при некотором, изначально неизвестном, значении k) может быть получена цифра старшего разряда частного a : b.

11. Формулы сокращённого умножения.

Перечисленные выше арифметические законы переносятся с натуральных чисел на их обобщения – целые, рациональные и действительные числа, а также на ещё более абстрактные объекты, такие как комплексные числа, векторы и функции. Таким образом, натуральные (то есть как бы существующие в реальности) числа являются прообразом других важнейших математических объектов (реальность которых менее очевидна).

Особенно важно следующее обстоятельство. Хотя исходная цель арифметики – непосредственная работа с числами, необходимость проведения общих рассуждений, особенно нахождение неизвестных чисел по известным числам и условиям, привела к возникновению символических обозначений, сначала для неизвестных, а потом и для известных чисел. Без символических обозначений нельзя было бы удовлетворительно описать арифметические законы, а также проводить символические вычисления, подобные перемножению скобок.

Запись арифметических операций над числами или их символическими обозначениями называют формулой. Очень часто формулы содержат знак равенства и в этом случае называются равенствами.

Формулы имеют различное назначение, в том числе:

1. Формулы могут рассматриваться как алгоритмы вычислений, то есть как описание порядка действий, которые нужно проделать для решения той или иной задачи.

2. Формулы описывают общие правила преобразования числовых и символических выражений (например, законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности).

3. Формулы описывают правила преобразования числовых и символических выражений в некоторых особых случаях (таковы формулы сокращённого умножения).

Хотя существует общий способ перемножения скобок, есть особо важные и распространённые случаи, называемые формулами сокращённого умножения. Их вывод не представляет сложности и состоит в последовательном перемножении соответствующих скобок.

(a + b)² = (a + b) (a + b) = a² + a · b + b · a + b² = a² + 2 · a · b + b²

(a + b)³ = (a + b) (a + b) (a + b) = (a² + 2 · a · b + b²) (a + b) =

a³ + 2·a²·b + a b² + a² b + 2·a·b² + b³ = a³ + 3·a²·b + 3·a·b² + b³