4. П Арифметика, натуральные числа. Еремножение скобок и закон дистрибутивности.

Геометрическое истолкование умножения позволяет понять смысл закона, связывающего операции сложения и умножения. Речь идёт о законе дистрибутивности.

П роизведение чисел a и d можно рассматривать как выражение для площади прямоугольника со сторонами a и d. Разобьём сторону длиной d на две части, длины которых обозначим через b и c (таким образом, d = b + c). Исходный прямоугольник будет разбит на две части, сумма площадей которых как раз и равна площади исходного прямоугольника. Символически это обстоятельство можно записать в виде равенства a · (b + c) = a · b + a · c, которое выражает закон дистрибутивности.

Закон дистрибутивности позволяет перемножать скобки, содержащие любое количество слагаемых. При этом могут использоваться два подхода. Первый состоит в том, что исходное выражение преобразуется по законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. В этом состоит основной принцип алгебраических вычислений, приводящий к выводу новых формул. Приведём пример перемножения двух скобок, содержащих по два слагаемых:

(p + q) · (r + s) = (p + q) · r + (p + q) · s = r · (p + q) + s · (p + q) =

r · p + r · q + s · p + s · q

Второй подход основан на геометрическом истолковании умножения. Одну сторону прямоугольника разбивают на отрезки, число которых равно числу слагаемых в первой скобке, и возле каждого отрезка записывают одно из этих слагаемых. Со второй стороной прямоугольника поступают аналогично, применительно ко второй скобке. Проводя через точки деления вертикальные и горизонтальные линии, разбивают исходный прямоугольник на малые прямоугольники, в каждый из которых вписывают его площадь, равную произведению длин его сторон. Можно сказать, что исходный прямоугольник превратится в таблицу, клетками которой являются малые прямоугольники. Площадь большого прямоугольника одновременно равна произведению скобок и сумме малых прямоугольников. В итоге можно сформулировать правило: произведение скобок равно сумме всех попарных произведений каждого слагаемого из первой скобки на каждое слагаемое второй скобки.

5. С Арифметика, натуральные числа. Тепени и корни.

П о определению aⁿ = а · а · а · … · а · а (читается: а в степени n).

Особые названия, связанные с геометрическим истолкованием произведения, имеют степени a² – квадрат, a³ – куб, a⁴ – биквадрат (двойной квадрат).

Символически обозначив операцию возведения в степень и получаемый при этом результат с помощью равенства aⁿ = c, мы можем перечислить соответствующие термины, используемые в арифметике:

а – основание степени, n – показатель степени, с – степень (n-я).

Легко понять, что а ≥ с, при этом равенство возможно только при а =1.

И

aⁿ ∙ a^m = a^n+m

спользуя определение степени можно получить основные правила для перемножения и деления степеней.

1. a ⁿ ∙ a^m = а · а · а · … · а · а · а · а · а · … · а · а = a^n+m.

aⁿ:a^m = a^n–m

Поскольку aⁿ:aⁿ = 1 и aⁿ:aⁿ = a^n–n, то по определению a⁰ = 1

Таким образом, при перемножении степеней с равными основаниями показатели степеней складываются.

2. Аналогично доказывается, что при делении степеней с равными основаниями показатели степеней вычитаются (n > m).

3. (

   (aⁿ)^m = a^n·m

   aⁿ)^m = · аⁿ · аⁿ · …· аⁿ · аⁿ = а · а · а · … · а · а = a^n∙m.

При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.

4 . aⁿ ∙ bⁿ = а · а · … · а · a · b · b · … · b · b = (ab)ⁿ.

aⁿbⁿ = (ab)ⁿ

При перемножении степеней с равными показателями основания степени перемножаются.

Если заданы основание степени а и показатель степени n, то мы можем вычислить соответствующую степень aⁿ = c. Иногда возникает обратная задача: заданы степень с и её показатель n, нужно определить основание степени а. Поскольку пока мы говорим только о натуральных числах, искомое число а можно вычислить, перебрав все n-е степени натуральных чисел от 1 до с, то есть числа 1ⁿ, 2ⁿ, … cⁿ, и сравнив их с числом с. Если одно из них (aⁿ) совпадёт с с, то основание степени (а) найдено. Говорят, что а является корнем n-й степени из числа с. Это обстоятельство выражают записью: . В случае когда n = 2, корень называют квадратным и не указывают степень: . Корень третьей степени называют кубическим. Для произвольных натуральных чисел с и n операция извлечения корня ( ) выполняется далеко не всегда, например, не существует натурального числа а, равного .

Из свойств степеней вытекают некоторые свойства корней:

, , .