С Арифметика, натуральные числа. Войства арифметических операций.
Символически обозначив операцию суммирования и получаемый при этом результат с помощью равенства a + b = c, мы можем перечислить соответствующие термины, используемые в арифметике:
а – первое слагаемое, b –второе слагаемое, с – сумма.
Для операции вычитания a – b = c:
а – уменьшаемое, b –вычитаемое, с – разность.
Для операции умножения a b = c:
а – первый сомножитель, b –второй сомножитель, с – произведение.
Для операции деления a : b = c:
а – делимое, b –делитель, с – частное.
Смысл основного свойства сложения – закона коммутативности, таков: от перестановки слагаемых сумма не меняется. Символически он выражается равенством a + b = b + a. С физической точки зрения (сложение – объединение двух совокупностей предметов) это свойство очевидно.
Часто приходится последовательно складывать большое количество чисел. Подобная сумма записывается в виде: а + b + c + d +… + z. При большом количестве операций возникает необходимость указать последовательность их выполнения. Одним из важных способов для этого являются скобки.
Пара связанных между собой скобок ( ) заключает в себя несколько математических символов. Левая скобка называется открывающейся, а правая – закрывающейся. Скобки могут быть вложены друг в друга: (…(…)…), создавая разные уровни.
Действуют следующие договорённости:
Из двух операций одинакового типа, находящихся вне скобок или находящихся в скобках на одном уровне, раньше выполняется та, что записана левее.
Операция в скобках выполняется раньше операции вне скобок.
Если две операции разделены вложенными скобками, то раньше выполняется та из них, которая находится во вложенных скобках.
С помощью скобок можно создавать очень сложные вложенные структуры, однако для описания основных законов арифметики достаточно использования скобок без вложения.
Для операции сложения выполняется ещё один закон – закон ассоциативности, состоящий в том, что слагаемые можно складывать в любом порядке. Символически этот закон выражается равенством (a + b) + с = a + (b + с). Именно этот закон позволяет использовать запись суммы вообще без скобок. С физической точки зрения это свойство также очевидно, как и коммутативность.
Практическая важность законов коммутативности и ассоциативности связана с тем, что суммирование порой упрощается при изменении порядка суммирования, например,
73 + 59 + 27 = 73 + (59 + 27) = 73 + (27 + 59) = (73 + 27) + 59 = 100 + 59 = 159
Ассоциативность Коммутативность Ассоциативность Суммирование
Для умножения также действуют законы коммутативности и ассоциативности, выражаемые равенствами a b = b a и (a b) с = a (b с).
Для обоснования этих правил следует использовать геометрическое истолкование умножения. При многократном сложении (b раз) нескольких равных куч (по a предметов), можно заменить каждую кучу полосой из a единичных квадратов и сложить b полос одну под другой. В итоге получится прямоугольник a на b, площадь которого равна a b. Его можно повернуть на 90º и представить, что он сложен из a горизонтальных полос, содержащих по b единичных квадратов. Площадь его не изменилась, следовательно, a b = b a.
При рассмотрении произведения трёх чисел a b с предметы можно заменить единичными кубами и сложить из них параллелепипед. Его можно сложить из с горизонтальных пластин размером a на b, или же из а вертикальных пластин размером b на с. Произведение a b с равно объёму параллелепипеда, а, значит, (a b) с = a (b с). Так же как и в случае сложения, закон ассоциативности позволяет использовать запись произведения нескольких сомножителей вообще без скобок.
Как и в случае сложения, практическая важность законов коммутативности и ассоциативности при нахождении произведения связана с тем, что процесс перемножения чисел порой упрощается при изменении порядка вычислений, например, 5 ∙ 59 ∙ 4 = 5 ∙ (59 ∙ 4) = 5 ∙ (4 ∙ 59) = (5 ∙ 4) ∙ 59 = 20 ∙ 59 = 1180.
Ассоциативность Коммутативность Ассоциативность Умножение
Используя законы умножения, можно получить некоторые свойства операции деления. Пусть, a = b с d, тогда a = (b с) d, то есть a : (b с) = d. С другой стороны (a : b) : с = (с d) : с = d, то есть (a : b) : с = a : (b с).
Наличие геометрического истолкования умножения и его большая практическая важность указывает на существование глубокой связи числовых отношений и простых геометрических форм. По крайней мере, становится ясным, что истолкование смысла арифметических операций хотя бы отчасти связано с упорядоченным расположением предметов в пространстве.