2. ИАрифметика – совокупности, состоящие из единиц. Стоки учения о количестве – натуральные числа и ноль.

Натуральные числа предназначены для пересчёта предметов. Процедуре счёта должно предшествовать предварительное размышление. Дело в том, что имеет смысл пересчитывать только те предметы, которые в чём-то сходны между собой. Нужная степень сходства как раз и устанавливается в процессе размышления. Тем самым перед началом счёта необходимо определиться с множеством пересчитываемых элементов. Множество – это совокупность элементов, объединённых некоторым общим свойством (у нас речь идёт только о конечных множествах). Это свойство и необходимо указать.

Как только множество определено, его элементы становятся неразличимыми и как бы теряют прочие свойства. Единственной характеристикой множества становится количество его элементов – число. Элементы множества можно рассматривать как составляющий соответствующее число набор единиц.

Множества можно менять, добавляя к ним элементы (сложение) или удаляя из них элементы (вычитание). Операции сложения и вычитания натуральных чисел могут быть сведены к последовательному прибавлению или вычитанию единиц. При записи операций сложения и вычитания, а также других операций, вводимых на основе сложения и вычитания, числа обозначаются символами (обычно буквами), а операция над ними изображается либо значком, размещаемым между числами, либо взаимным расположением чисел.

Для любой пары натуральных чисел (n и m) определены операции сложения (n + m), умножения (n m, n·m, n m) и возведения в степень (n^m). При определённых условиях возможно вычитание (n – m, в случае, когда n > m) и деление (n : m, в случае, когда n = m·q). Если натуральное число большее единицы и делится только на единицу и на себя, оно называется простым. Все арифметические операции имеют наглядный физический смысл. Это отражено в смысле слов, которые используются для обозначения этих операций.

Сложение – совмещение в единую кучу (совокупность) предметов из двух куч, соответственно содержащих n и m предметов. Умножение – многократное сложение нескольких равных куч (в каждой куче n предметов, а число куч равно m). Возведение в степень – многократное перемножение m сомножителей, каждый из которых равен числу n. На первый взгляд понятие степени по важности должно уступать понятиям сложения и умножения, но его роль в полной мере выявляется при использовании позиционной системы счисления, которая придумана для записи натуральных чисел. Именно она потребовала введения дополнительного ненатурального числа – нуля, обозначающего отсутствие пересчитываемых предметов.

Вычитание – удаление из кучи, содержащей n предметов, m предметов. Ясно, что с физической точки зрения n > m. Операции сложения и вычитания тесно связаны между собой. В частности, очевидно, что (n – m) + m = а, то есть операция вычитания является обратной к операции сложения. Деление – распределение предметов из кучи между несколькими лицами поровну. Тот факт, что деление нацело не всегда возможно сразу же приводит к важнейшей для математики операции деления с остатком.