Лекции по теоретической механике1 / Лекция №5
.docТеорема об изменении момента количества движения точки и системы
(кинетического момента)
Кинетическим моментом точки относительно центра называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора, проведенного в точку из неподвижного центра на количество движения точки.
(1) - кинетический момент точки относительно центра О или момент количества движения относительно центра О.
Модуль
Найдем производную по времени от выражения (1):
(2), где М - момент относительно т. О.
Формулировка: производная по времени от момента количества движения точки относительно неподвижного центра равна моменту силы относительно этого центра.
В проекциях на оси координат:
(3)
Частные случаи теоремы:
-
- закон сохранения кинетического момента.
-
- закон сохранения кинетического момента в проекции на ось Х.
Примеры:
-
Движение точки под действием центральной силы
-
Определить скорость точки в положении, наиболее удаленном от точки О.
В данном примере выполняется закон сохранения момента количества движения точки.
2. Гирька М привязана к концу нерастяжимой нити М1ОА часть которой ОА пропущена через вертикальную трубку; гирька движется вокруг оси трубки по окружности радиуса М1С= R, делая 120 об/мин. Медленно втягивая нить ОА в трубку, укорачивают наружную часть нити до длины ОМ2. Определить скорость гирьки, когда она описывает окружность радиусом R/2.
|
Кинетический момент системы.
Для системы кинетический момент равен векторной сумме кинетических моментов всех точек, входящих в систему.
Запишем для произвольной точки, входящей в систему, теорему об изменении кинетического момента.
(4)
Формулировка: производная по времени от кинетического момента системы относительно некоторого центра равна главному моменту внешних сил относительно этого центра.
В проекциях на оси координат:
(5)
Частные случаи теоремы:
-
Если
-
Если
В этих случаях выполняется закон сохранения кинетического момента системы.
Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Формулировка: при вращении тела вокруг оси кинетический момент равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на его угловую скорость.
Примеры:
1. Человеку, стоящему на скамейке Жуковского, в то время, когда он протянул руки в стороны, сообщают начальную угловую скорость, соответствующую 15 об/мин; при этом момент инерции человека и скамейки относительно оси вращения равен 0,8 кгм2. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамейка с человеком, если, приблизив руки к туловищу, он уменьшит момент инерции системы до 0,12 кгм2?
; |
|
- выполняется закон сохранения кинетического момента.
Моменты инерции некоторых тел
-
Однородный круглый диск или цилиндр
-
Обод (кольцо)
3.
-
Любое тело
.
Теорема Резаля в приложении к гироскопу
Для изучения движения гироскопа удобно пользоваться теоремой Резаля, которая представляет собой геометрическую интерпретацию теоремы об изменении кинетического момента системы материальных точек [1 -2, 5, 7 -8]. Согласно последней имеем
, (2)
где - главный момент внешних сил, приложенных к механической системе, относительно неподвижной точки О.
П роизводная от вектора по времени представляет собой "скорость" конца этого вектора (рис.). Поэтому формулу (2) можно прочесть и таким образом: "скорость" конца вектора кинетического момента механической системы, взятого относительно неподвижной точки О,
Слово "скорость" взято в кавычки, так как не является обычной скоростью точки. Кинетический момент имеет иную размерность, чем радиус-вектор. В дальнейшем, помня условность этого понятия, кавычки опускаем. Придерживаясь прецессионной теории, перепишем равенство (2) в виде
. (3)
Так как производная от вектора по времени представляет собой скорость конца этого вектора, то
(4)
и теорему Резаля применительно к гироскопу можно сформулировать так: скорость конца вектора собственного кинетического момента гироскопа равна главному моменту всех внешних сил, приложенных к гироскопу. При этом предполагается, что кинетический момент и главный момент определяются относительно точки О подвеса гироскопа.