1. Определение производной функции. Необходимое условие существования производной

Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности. Придадим аргументу приращение такое, что точка попадает в область определения функции. Функция при этом получит приращение .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , при (если этот предел существует и конечен), т.е.

.

Обозначают: , , , .

Производной функции в точке справа (слева) называется

(если этот предел существует и конечен).

Обозначают: , – производная в точке справа,

, – производная в точке слева.

Очевидно, что справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Функция имеет производную в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем

.

Следующая теорема устанавливает связь между существованием производной функции в точке и непрерывностью функции в этой точке.

ТЕОРЕМА (необходимое условие существования производной функции в точке). Если функция имеет производную в точке , то функция в этой точке непрерывна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть существует . Тогда

,

где – бесконечно малая при .

⇒ ;

⇒

.

Но это означает, что непрерывна в точке (см. геометрическое определение непрерывности). ∎

Замечание. Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в точке . Например, функция непрерывна, но не имеет производной в точке . Действительно,

,

,

и, следовательно, не существует.

Очевидно, что соответствие является функцией, определенной на некотором множестве . Ее называют производной функции и обозначают

, , , .

Операцию нахождения для функции ее производной функции называют дифференцированием функции .

УПРАЖНЕНИЕ. Доказать по определению, что

, ℝ;

, ℝ;

, , ℝ;

, , .

2. Физический и геометрический смысл производной

1) Физический смысл производной. Если функция и ее аргумент являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной относительно переменной в точке . Например, если – расстояние, проходимое точкой за время , то ее производная – скорость в момент времени . Если – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени , то – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .

2) Геометрический смысл производной.

П усть – некоторая кривая, – точка на кривой .

Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , если точка стремится к , двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная

Р ассмотрим кривую (т.е. график функции ). Пусть в точке он имеет невертикальную касательную . Ее уравнение: (уравнение прямой, проходящей через точку и имеющую угловой коэффициент ).

По определению углового коэффициента

,

где – угол наклона прямой к оси .

Пусть – угол наклона секущей к оси , где . Так как – касательная, то при

,

⇒ ,

⇒ .

Следовательно,

.

Таким образом, получили, что – угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой в точке можно записать в виде

Замечание. Прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке , называется нормалью к кривой в точке . Так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением , то уравнение нормали к кривой в точке будет иметь вид

, если .

Если же , то касательная к кривой в точке будет иметь вид

,

а нормаль .