Свойства бесконечно больших последовательностей

1) Если – бесконечно большая, то последовательность – бесконечно малая. Если последовательность – бесконечно малая, то последовательность – бесконечно большая.

2) Если последовательности и – бесконечно большие одного знака, то их сумма – бесконечно большая того же знака.

3) Если последовательности – бесконечно большая, а последовательность – ограниченна, то их сумма – бесконечно большая последовательность.

4) Если последовательности и – бесконечно большие, то их произведение – бесконечно большая последовательность.

5) Если последовательность – бесконечно большая, а последовательность – сходящаяся, причем , то их произведение – бесконечно большая последовательность.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность называют отделимой от нуля, если существуют число и номер такие, что , .

6) Если последовательность – ограниченная и отделимая от нуля, а – бесконечно большая, то их произведение – бесконечно большая последовательность.

7) Если последовательность – бесконечно большая и для любого ℕ имеет место неравенство ( ), то последовательность тоже является бесконечно большой.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется бесконечно малой при , если .

Свойства бесконечно малых функций

1) ТЕОРЕМА (роль бесконечно малых в теории пределов). Число является пределом функции при тогда и только тогда, когда , где – бесконечно малая при .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (самостоятельно)

2) Сумма, разность, произведение двух (конечного числа) бесконечно малых при функций есть функция бесконечно малая.

Это утверждение является следствием свойства 3 пределов функций.

3) Пусть функция – ограниченна в некоторой окрестности точки , а – бесконечно малая при . Тогда их произведение – бесконечно малая при .

Это свойство справедливо в силу определения 2 и соответствующего свойства бесконечно малых последовательностей.

П усть функция определена в некоторой окрестности точки ℝ, кроме, может быть, самой точки .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (на языке - ). Функцию называют бесконечно большой при , стремящемся к , если для любого существует такое, что, если , то .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке последовательностей). Функцию называют бесконечно большой при , стремящемся к , если для любой последовательности ( ) значений аргумента, стремящейся к , соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой.

Записывают: .

Если является бесконечно большой при и при этом , (или , ), то пишут:

.

Если является бесконечно большой при и при этом , (или , ), то пишут:

.

Определение 1 и определение 2 бесконечно большой функции эквивалентны.

Свойства бесконечно больших функций

1) Если – бесконечно большая при , то функция – бесконечно малая при . Если функция – бесконечно малая при , то функция – бесконечно большая при .

2) Если функции и – бесконечно большие одного знака при , то их сумма – бесконечно большая того же знака при .

3) Если функция – бесконечно большая при , а функция – ограниченна в некоторой окрестности точки , то их сумма – бесконечно большая при .

4) Если функции и – бесконечно большие при , то их произведение – бесконечно большая при .

5) Если функции – бесконечно большая при , а функция имеет предел при , причем , то их произведение – бесконечно большая при .

6) Если функции – бесконечно большая при и для любого из некоторой окрестности точки имеет место неравенство ( ), то функция тоже является бесконечно большой при .