7) Пусть , – сходящиеся последовательности и

, .

Тогда их сумма, разность, произведение и частное также являются сходящимися последовательностями, причем

а) ;

б) ;

в) (при условии, что ).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (для 7(а) и 7(б) )

а) Возьмем любое число . Так как , то существует номер такой, что

, . (4)

Так как , то существует номер такой, что

, . (5)

Пусть . Тогда для любого выполняются одновременно оба неравенства (4) и (5). Следовательно, для любого

.

⇒ . ∎

б) Докажем сначала вспомогательное утверждение.

Если и – бесконечно малые последовательности, то их произведение – тоже является бесконечно малой последовательностью.

Возьмем любое число . Так как – бесконечно малая, то существует номер такой, что

, . (6)

Так как – бесконечно малая, то существует номер такой, что , . (7)

Пусть . Тогда для любого выполняются одновременно оба неравенства (6) и (7). Следовательно, для любого

, .

⇒ .

Теперь рассмотрим две произвольные сходящиеся последовательности и . Если , , то

, ,

где , – бесконечно малые последовательности (свойство 5). Тогда .

Но , , – бесконечно малые. Следовательно, их сумма тоже является бесконечно малой (свойство 7(а)).

Таким образом, получили

,

где – бесконечно малая последовательность. Согласно свойству 5, это значит, что . ∎

СЛЕДСТВИЕ свойства 7. Пусть – сходящаяся последовательность и .

Тогда для любого ℝ последовательность тоже сходится, причем .

Так как последовательность очевидно является сходящейся, то это утверждение является следствием пункта б) свойства 7.

8) Пусть и ( ), . Тогда .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Предположим противное. Пусть . Возьмем такое, что . Для выбранного существует номер такой, что

, ;

⇒ , . (8)

Так как , то из неравенства (8) получаем:

, .

Но этот результат противоречит условию. Следовательно, предположение было неверным и .

9) Пусть последовательности и сходятся и для любого ℕ имеет место неравенство

( ).

Тогда .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Рассмотрим последовательность . Ее члены по условию будут неотрицательны (положительны). Тогда по свойству 8

,

⇒ ,

⇒ . ∎

10) Пусть последовательности и сходятся и имеют равные пределы. Если для любого ℕ имеет место неравенство

,

то последовательность тоже сходится и

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть . Докажем, что .

Возьмем любое число . Так как , то существует номер такой, что

, . (9)

Так как , то существует номер такой, что

, . (10)

Пусть . Тогда для любого выполняются одновременно оба неравенства (9) и (10). Следовательно, для любого

⇒

и ⇒ .

Но если , то (т.к. по условию , ℕ). Следовательно,

, ,

⇒ . ∎