Свойства пределов функции
1) Если
существует, то он единственный.
2) Если
,
то
.
3) Пусть
функции
и
имеют предел при
и
,
.
Тогда их сумма, разность произведение и частное тоже имеют предел при , причем
а)
;
б)
(и,
в частности,
для любого числа
ℝ);
в)
(при условии, что
).
4) Пусть
и существует проколотая
-окрестность
точки
такая, что
(или
),
.
Тогда
.
5) Пусть
функции
и
имеют предел при
.
Если существует проколотая
-окрестность
точки
такая, что
(или
),
,
то
.
6) Пусть функции и имеют предел при , причем
.
Если существует проколотая -окрестность точки такая, что
,
,
то функция
тоже имеет предел при
и
.
7) Если функция имеет предел при , то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки (говорят: функция локально ограничена).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть
.
Возьмем
.
Тогда существует
такое, что, если
,
то
.
Т.е.
,
.
Рассмотрим
.
Имеем:
,
.
Следовательно, в
функция
ограничена. ∎
8) Пусть
,
(
ℝ).
Если
существуют
и
,
то сложная
функция
имеет предел при
,
причем
. (2)
Формулу (2) называют формулой замены переменной в пределе.
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Свойства сходящихся последовательностей
1) Две последовательности, отличающиеся на конечное число членов, ведут себя одинаково относительно сходимости.
3) Если последовательность
сходится к
,
то последовательность
сходится к
.
Для доказательства достаточно заметить,
что справедливо неравенство 
.
4) Сходящаяся последовательность ограничена.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть
.
Возьмем
.
Тогда существует номер
такой, что 
,
.
Следовательно,
,
.
Пусть 
.
Тогда 
,
.
∎
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой, разностью,
произведением, частным двух
последовательностей
и
называются соответственно последовательности
,
,
,
(в последнем случае, все члены
последовательности
должны быть отличны от нуля).
Произведением последовательности
на число
называется последовательность
.
Последовательность
можно рассматривать также как
произведением последовательностей
и
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность, сходящуюся к нулю, называют бесконечно малой.
5) Число является пределом последовательности тогда и только тогда, когда , где – бесконечно малая последовательность.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1) ⇒ (Необходимость).
Пусть
.
Тогда для любого
существует номер
такой, что 
,
.
(3)
Обозначим
.
Тогда
,
причем, в силу неравенства (3),
.
2) ⇐ (Достаточность).
Пусть для любого
имеет место равенство
и
.
Тогда .
Так как – бесконечно малая последовательность, то для любого существует номер такой, что
,
.
Но 
.
Следовательно, , ;
⇒ . ∎
6) Пусть последовательность – ограниченная, а последовательность – бесконечно малая. Тогда их произведение является бесконечно малой последовательностью.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
По условию
– ограниченная. Следовательно, существует
число
такое, что 
,
ℕ.
Возьмем любое число . Так как – бесконечно малая, то существует номер такой, что
,
.
Рассмотрим
.
Имеем:
,
.
Таким образом, получили, что для любого существует номер такой, что
,
.
Значит 
.
∎
СЛЕДСТВИЕ свойства 6. Если
– бесконечно малая последовательность
и
– сходящаяся последовательность, то
их произведение
является бесконечно малой последовательностью.
Действительно, так как
– сходящаяся, то она ограничена (смотри
свойство 4). Следовательно, по свойству
6,
является бесконечно малой последовательностью.