§8. Простейшие задачи векторной алгебры
Пусть на плоскости (в пространстве)
задана декартова прямоугольная система
координат. Выберем в пространстве
(
)
декартов прямоугольный базис
,
,
(
,
).
Рассмотрим следующие задачи.
ЗАДАЧА 1. Найти координаты вектора
,
если известны декартовы координаты
начала и конца вектора.
П
усть
точки
и
лежат в плоскости
и имеют координаты
,
.
Рассмотрим векторы
,
и
.
Имеем:
.
Но
,
.
Следовательно,
.
Аналогично
получаем, что если
и
,
,
то
.
ЗАДАЧА 2. Найти длину вектора, если известны его координаты в декартовом прямоугольном базисе.
П
усть
и
.
Имеем:
,
.
Рассмотрим
треугольник
.
Имеем:
,
,
.
Следовательно, по теореме Пифагора,
,
.
Аналогично
получаем, что если
и
,
то 
.
ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты его орта.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортом вектора
называется вектор
,
сонаправленный с вектором
и имеющий единичную длину.
Пусть
.
Так как векторы
и
сонаправленны, то существует
такое, что
.
Следовательно
.
Найдем
.
Имеем:
,
.
Таким образом, получаем:
.
Координаты орта вектора имеют очень
простой геометрический смысл. Обозначим
через
,
и
углы, которые вектор
образует с координатными осями
,
и
соответственно.
,
,
называются направляющими косинусами
вектора
.
Выразим направляющие косинусы вектора
через его координаты. Имеем:
А
налогично
находим:
,
.
Следовательно,
,
,
.
Таким образом, получили, что координаты орта вектора являются его направляющими косинусами.
Замечание. Так как
и
,
то
.
Это равенство называют основным тождеством для направляющих косинусов вектора.
ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что точка
делит отрезок
в отношении
если
.
Если
,
то точка
лежит между точками
и
.
В этом случае говорят, что точка
делит отрезок
во внутреннем отношении.
Если
,
то точка
лежит на продолжении отрезка
и говорят, что точка
делит отрезок
во внешнем отношении.
П
усть
,
и
.
Обозначим через
,
,
– радиус-векторы точек
,
и
соответственно. Тогда
,
.
Так как , то
,
,
,
(1)
или в координатной форме:
,
,
. (2)
В частности, если – середина отрезка , то
,
т.е.
и формулы (1) и (2) примут вид:
и 
,
,
.
Замечание. Если точка
лежит между точками
и
,
то обычно говорят, что
делит отрезок
в отношении
.
В этом случае
,
а формулы (1) и (2) можно переписать в
виде:
и 
,
,
.
§9. Нелинейные операции на множестве векторов
1. Скалярное произведение векторов
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ.
Скалярным произведением двух ненулевых
векторов
и
называется число, равное произведению
их модулей на косинус угла между ними,
т.е. число
.
Если
или
,
то скалярное произведение векторов
и
полагают равным нулю.
Скалярное произведение векторов
и
обозначают
или
.
СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
1) Скалярное произведение векторов коммутативно, т.е.
.
Это свойство очевидно из определения.
2
) Скалярное
произведение ненулевых векторов
и
равно произведению длины вектора
на проекцию вектора
на вектор
(длины вектора
на проекцию
на
).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией вектора на вектор называется проекция вектора на ось, определяемую вектором .
Имеем:
.
Но 
,
.
Следовательно,
,
и
.
3) Числовой множитель любого из двух векторов можно вынести за знак скалярного произведения. Т.е.
.
Д
ействительно,
пусть
.
Тогда
,
.
Пусть . Тогда
,
,
.
4) Если один из векторов записан в виде суммы, то их скалярное произведение тоже можно записать в виде суммы. А именно:
,
.
Д
ействительно,
.
5) Скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат вектора) равно квадрату его длины. Т.е.
.
Это свойство очевидно из определения.
6) Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю (критерий перпендикулярности векторов).
Действительно, пусть векторы и перпендикулярны. Тогда
и
.
Обратно, пусть
и
,
.
Тогда
и
,
,
и
.
7) Если в декартовом прямоугольном
базисе векторы
и
имеют координаты:
,
,
то
. (1)
Формулу (1) называют выражением скалярного произведения через декартовы координаты векторов. Она легко выводится из свойств 4, 5, и 6.
8) Если под действием постоянной силы
точка перемещается по прямой из точки
в
,
то работа силы
будет равна
(физический смысл скалярного произведения).