2. Определение нелинейной регрессии

Для уравнения нелинейной регрессии вида

y=bm₁^X1* m₂^X2* ...*m_n^Xn (3)

применяется функция ЛГРФПРИБЛ( ). Для ознакомления с работой этой функции и ее наглядным представлением в виде графиков рассмотрим уравнение регрессии (3) для случая n=1, т.е. парной регрессии

y=bm^X.

Функция ЛГРФПРИБЛ( ) имеет точно такой же формат ввода, как и функция ЛИНЕЙН( ), и вычисление уравнения нелинейной регрессии с помощью функции ЛГРФПРИБЛ( ) ведется аналогично работе с функцией ЛИНЕЙН( ).

На 13 листе (ЛГРФПРИБЛ) вашей рабочей книги рассчитайте коэффициенты уравнения регрессии для исходных данных представленных в таблице на рис.6. Для наглядности постройте график y=f(x). Определите минимальное и максимальное значение X (см. рис. 6).

Рис. 6. Определение уравнения нелинейной регрессии с помощью функции ЛГРФПРИБЛ( ) для уравнения вида y=bm^X.

Определим уравнение регрессии для функции, имеющей максимум. Данные для расчета представлены в интервале B25:C31 текущего рабочего листа таблицы и представлены на рис.7.

Оценка достоверности полученного уравнения регрессии R²=0,02. Следовательно, полученное уравнение регрессии описывает статистические данные не удовлетворительно.

3. Определение уравнения нелинейной регрессии в форме пользователя

Рассмотрим определение уравнения регрессии для исходных данных, приведенных в таблице на рис. 8 в ячейках B3:D13. Определите уравнение линейной регрессии для этих данных на листе 14 (Пользователь). Результаты расчетов представьте в ячейках B18:D22. Достоверность полученного уравнения регрессии в ячейке B20 равна R²=0,64. Эта величина является недостаточной.

Рис. 7. Определение уравнения нелинейной регрессии с помощью функции ЛГРФПРИБЛ( ) для уравнения, имеющего максимум

Выполните расчет уравнения нелинейной регрессии с помощью функции ЛГРФПРИБЛ( ). Результаты разместите в интервал ячеек B25:D29. Полученное в данном случае значение R²=0,52 тоже нельзя признать удовлетворительным. В таких случаях уравнение регрессии рекомендуется находить в виде функции, вид которой назначает пользователь.

Будем искать уравнение нелинейной регрессии в виде полинома второй степени:

y=b+m₁x₁+ m₂x₂+ m₃x₁²+ m₄x₂²+ m₅x₁x₂. (4)

В этом случае для нахождения уравнения регрессии необходимо определить величину b и 5 коэффициентов при остальных членах уравнения регрессии. Таким образом, число искомых величин М=6, что следует из зависимости

M=(n+2)*(n+1)/2.

Для определения искомых величин необходимо иметь число строк с исходными данными не менее чем

K=M+2=6+2=8.

Рис. 8.Уравнение в форме пользователя

В рассматриваемом примере число строк с исходными данными равно 11, что вполне достаточно для определения нелинейной регрессии в виде (4). Поставленную задачу выполним по следующему алгоритму.

1. Скопируйте исходные данные текущего листа из интервала ячеек B3:C13 на F3:G13 и D3:D13 на интервал ячеек K3:K13.

2. Введите обозначения переменных в ячейки F2:J2 и функции - в K2 (рис.9).

3. Введите формулы для вычисления переменных в H3:J3, как функций F3 и G3.

4. Скопируйте формулы из интервала H3:J3 на интервал ячеек H4:J13.

Исходные данные для решения задачи имеются в интервале ячеек F3:K13. Используйте функцию ЛИНЕЙН( ) для определения коэффициентов. Результаты будут представлены в интервале ячеек B18:K22 (рис. 9).

Рис. 9.Определение уравнения регрессии в форме пользователя

На основании полученных данных уравнение регрессии имеет вид

y=130+832*X₁-482*X₂+197*X₁²+156*X₂²-364*X₁*X_2.

При этом оно справедливо для значений X₁, X₂ в пределах

1<= X₁<=17; 2<= X₂<=20.

Величина R² =0,97, т.е. значительно выше, чем для случая линейной регрессии, а также для нелинейной , полученной с помощью функции ЛГРФПРИБЛ( ).

Из рассмотренного примера следует, что в случае недостаточной достоверности линейной регрессии лучше определять уравнение нелинейной регрессии в форме задаваемой пользователем.