3.2 Задача знаходження найкоротших шляхів
Задачі подібного типу виникають при синтезі алгоритмів багатошляхової маршрутизації, коли повідомлення, що поступають у комп’ютерну мережу розбиваються на окремі пакети.
У цьому випадку приходимо до
загальної задачі
знаходження найкоротших шляхів,
тобто знаходження найкоротших шляхів
між всіма парами вершин орієнтованого
графа (орграфа). Більш строге формулювання
цієї задачі наступне: заданий орієнтований
граф
,
кожному ребру
цього графа співставлена невід’ємна
вартість (ваги ребер)
.
Тоді під довжиною шляху будемо розуміти
суму всіх ваг ребер орієнтованого графа,
які ведуть із вершини
до вершини
.
Загальна задача знаходження
найкоротшого шляху полягає у знаходженні
для кожної упорядкованої пари вершин
будь-якого шляху від вершини
до вершини
,
довжина якого мінімальна серед всіх
можливих шляхів від
до
.
Алгоритм розв’язку сформованої задачі
носить назву алгоритму
Флойда (R. W. Floyd). Для
визначеності допустимо, що всі вершини
графа послідовно пронумеровані ві 1 до
.
Алгоритм Флойда використовує матрицю
розміром
,
в яку заносяться довжини найкоротших
шляхів. На початку роботи алгоритму
для всіх
.
Якщо вершини
та
не з’єднані між собою, то
.
Кожний діагональний елемент матриці
дорівнює нулю, тобто
.
Над матрицею
виконується
ітерацій. Після
-ої
ітерації елемент
матриці
набуває значення найменшої довжини
шляху із вершини
до вершини
,
який не проходить через вершини з номером
більшим за
.
Іншими словами, між кінцевими вершинами
та
можуть знаходитись тільки вершини,
номери яких не більше
.
На -ій ітерації для обчислення значень елементів матриці використовується наступна формула:
,
(3.1)
де нижній індекс позначає значення елемента матриці після -ої ітерації. Графічна інтерпретація формули (3.1) показана на рис. 3.3.
Рисунок 3.3 – Включення вершини у шлях від до
Процедура, яка реалізує алгоритм Флойда буде наступною:
FloydPath
n
– розмір матриці А
1 for i=1 to n
2 for j=1 to n
3 A(i,j)=C(i,j)
4 end for
5 end for
6 for i=1 to n
7 A(i,j)=0
8 end for
9 for k=1 to n
10 for i=1 to n
11 for j=1 to n
12 if A(i,k)+ A(k,j)< A(i,j)
13 then A(i,j)= A(i,k)+ A(k,j)
14 end if
15 end for
16 end for
17 end for
Час виконання алгоритму
FloydPath
має порядок
,
оскільки вона вміщує вкладені один в
одного три цикли.
У ситуації, коли необхідно
визначити найдешевший шлях із одної
вершини до іншої, можна в процедуру
FloydPath ввести ще
одну матрицю
,
в якій елемент
вміщує вершину
,
отриману при знаходженні найменшого
значення
.
Якщо
,
то найкоротший шлях із вершини
до вершини
утворює тільки одна дуга
.
Модифікована версія алгоритму Флойда, яка дає змогу визначати найкоротший шлях наведена нижче.
ModifiedFloydPath
n
– розмір матриці А
1 for i=1 to n
2 for j=1 to n
3 A(i,j)=C(i,j)
4 P(i,j)=0
5 end for
6 end for
7 for i=1 to n
8 A(i,j)=0
9 end for
10 for k=1 to n
11 for i=1 to n
12 for j=1 to n
13 if A(i,k)+ A(k,j)< A(i,j)
14 then A(i,j)= A(i,k)+ A(k,j)
15 P(i,j)=k
16 end if
17 end for
18 end for
19 end for
Для індикації послідовності вершин, які визначають найкоротший шлях від вершини до вершини , викликається процедура Path(i,j), псевдокод якої має наступний вигляд
Path(i,j)
1 k=P(i,j)
2 if k=0
3 return
4 path(i,k)
5 writeln(k)
6 path(i,k)
7 end if