4.3 Ход работы
Изучить теоретическую справку
Рассмотреть пример модели задачи «Покупка обоев в магазине», провести расчеты с помощью табличного процессора MS EXCEL.
Самостоятельно построить математическую модель в соответствии с вариантом задания. ( Обсуждение и выполнение задания в малых группах)
Варианты заданий:
Вариант 1
Определите, как будет меняться плотность популяции голубя в течение ближайших 10 лет, если предварительные наблюдения позволили установить, что их плотность составляет 130 особей/га (P = 130 особей/га). В популяции число самцов равно числу самок. За период размножения (1 раз в год) из одной кладки выживает 1.3 детеныша. Коэффициент смертности C=0.27 означает, что в течении года из каждых 100 голубей погибают 27 особей. Или, иначе, смертность равна 27%.
Учитывая, что:
коэффициент размножения k=1.3,
плотность самок: pc = P/2
рождаемость: R = рc*k
смертность: S = P*C,
Плотность популяции к следующему году Pn составляет:
Pn=P-S+R
Провести компьютерные эксперименты:
Построить график изменения плотности популяции за 10 лет (динамика популяции). Проанализировать, как изменяется плотность популяции за расчетный период. Результат показать учителю.
Провести эксперимент, как с изменением начальной плотности будет меняться динамика развития популяции.
Провести эксперимент, как с увеличением в два раза одного из коэффициентов (рождаемости или смертности) будет меняться динамика развития популяции.
Вариант 2
"Модель карпы в пруду".
Определите, сколько карпов будет в некотором пруду через 10 лет, если изначально в пруду было 1000 рыб, коэффициент рождаемости равен 1, а коэффициент вымирания 0,001.
Закон Мальтуса
Прирост числа какого-либо вида животных организмов за счет рождаемости прямо пропорционален их количеству, а убыль за счет смертности прямо пропорциональна квадрату их количества.
Таким образом, N = q*N - k*N*N, где
N – прирост числа рыб относительно предыдущего года
N - начальное число рыб
q - коэф-т вымирания
k - коэф-т рождаемости
q, k - зависят от характеристик конкретного пруда. Размеры, кол-во пищи и т.д.
Пусть изначально в пруду N0 карпов, тогда через год количество карпов будет равно
N1 = N0 + q*N0 - k*N0*N0
Через 2 года: N2 = N1 + q*N1 - k*N1*N1
и т.д.
Через p лет Np = N p-1 + q*N p-1 - k*N p-1 *N p-1
Провести компьютерные эксперименты и ответить на вопросы:
Какое максимальное кол-во карпов одновременно могут выжить в пруду при k=1; q=0,001?
Сколько карпов нужно запустить в пруд, чтобы за 10 лет их кол-во возросло в 100 раз (при k=1;q=0,001)?
Как нужно изменить условия в пруду (как изменить k и q), чтобы по истечении 10 лет в нем обитало 3000 карпов (N0=2500)?
Вариант 3
Имеется квадратный лист картона со стороной a=40 см.
Из листа делают коробку следующим образом: по углам вырезают четыре квадрата и склеивают коробку по сторонам вырезов.
Определить, какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы коробка имела наибольшую вместимость.
Зависимость объема от длины вырезаемого квадрата:
V – объем коробки;
S – площадь основания коробки;
b – высота коробки;
c - длина стороны дна
с = 40 – 2b
S = (40 – 2b)2
V = Sb = (40-2b)2b
V(b) = (40-2b)2b
Причем 0 < b< 20
Найдите максимум функции, который будет являться наибольшим объемом коробки. Воспользуйтесь электронными таблицами EXCEL.
Протабулируйте функцию V(b) на интервале [1; 19] с шагом выреза h = 1.
Почему интервал начинается с единицы 1? Мы можем вырезать квадрат со стороной =0? Нет, а квадрат с какой минимальной стороной мы можем вырезать, если шаг выреза – 1 см? Конечно, квадрат со стороной 1 см. Поэтому и интервал начинается с 1.
А почему наш интервал заканчивается 19? (Если мы из каждого угла листа картона вырежем квадраты со стороной 20 см, коробка останется без боковых стенок, а квадрат со стороной 19 см еще можно вырезать.)
Постройте график и проверьте, есть ли у функции максимум на заданном интервале.
Компьютерный эксперимент
Для нахождения максимума воспользуемся функцией электронных таблиц – МАКС().
Для нахождения стороны вырезаемого квадрата, соответствующей наибольшему объему, воспользуемся пользовательским автофильтром.
Результат компьютерного эксперимента:
Если из листа картона по углам вырезать квадраты со стороной b=7 см, то в результате получится коробка с максимальным объемом 4732 см3
Анализ и корректировка модели.
Необходимо провести исследование модели с различным шагом выреза h = 0,5 и h = 0,1, данные занести в таблицу результатов и ответить на вопросы:
Как изменяется оптимальный размер выреза, если изменять шаг выреза?
Необходимо ли корректировать модель?
Вариант 4
В процессе тренировок теннисистов используются автоматы по бросанию мячика в определенное место площадки. Необходимо задать автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в мишень определенного размера, находящуюся на известном расстоянии.
Из условия задачи можно сформулировать следующие предположения:
Мячик мал по сравнению с Землей, поэтому его можно считать материальной точкой;
Изменение высоты мячика мало, поэтому ускорение свободного падения можно считать постоянной величиной g=9,8 м/с2 и движение по оси OY можно считать равноускоренным;
Скорость бросания тела мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь и движение по оси ОХ можно считать равномерным.
Используем известные из физики формулы равномерного и равноускоренного движения.
При заданной начальной скорости V0 и угле бросания А значения координат дальности полета Х и высоты Y от времени можно описать следующими формулами:
X=V0 *COS(A)*T
Y=V0*SIN(A)*T-G*T2/2
Пусть мишень высотой Н размещается на расстоянии S от автомата. Из первой формулы выражаем время, которое потребуется мячику для преодоления расстояния S.
T=S/(V0*COS(A))
Подставляем значение в формулу для Y и получаем высоту мячика над землей на расстоянии S
L=S*TAN(A)-G*S2/(2*V02*COS2(A))
Формализуем условие попадания мячика в мишень.
Попадание произойдет, если
0<=L<=H
Если L<0 – недолет, L>H - перелет
«Построение и исследование физической модели»
Цель работы: научиться строить и исследовать компьютерные модели.
Рассмотрим процесс построения и исследования модели движения тела, брошенного под углом к горизонту.
Технология работы.
Объединить ячейки с А1 по С1.
Поместить туда текст «Движение тела, брошенного под углом к горизонту»
Расширить колонки В и С, так, чтобы заголовок поместился в ячейках с А1 по С1
Ввести в ячейки А2, А3 и А4 соответственноV0= , A=, G=
В ячейки С2, С3 и С4 ввести м/сек, град, м/сек^2 соответственно
Для ячеек В2, В3 и В4 установить формат числовой, установив число десятичных знаков – 1
Ввести в ячейки В2, В3 и В4 соответственно значения 18,0; 35,0; 9,8
Ввести в ячейки А5 –Т, В5 –X=V0*COS(A)*T, С5 – Y=V0*SIN(A)*T-G*T^2/2
Выделить ячейки с А6 по С19 и установить числовой формат с числом десятичных знаков – 1
В ячейку А6 ввести число 0,0
Выделить ячейки с А6 по А19 и заполнить их значением времени с интервалом 0,2
В ячейку В6 ввести формулу =$B$2*COS(радианы($B$3))*A6
В ячейку C6 ввести формулу =$B$2*SIN(радианы($B$3))*A6 - $B$4*A6^2/2
Скопировать формулы в ячейки В7:В19 и С7:С19 соответственно
Выделить ячейки с А5 по С19 и установить границы таблицы:
Визуализируем модель, построив график зависимости координаты Y от координаты Х (траекторию движения тела)
Поместить график рядом с таблицей.
Сохранить работу в своей папке под именем «Физическая модель»
Исследование модели.
Исследуем
модель и определим с заданной точностью
0,1 
диапазон
изменений угла, который обеспечивает
попадание в мишень, находящуюся на
расстоянии 30 м. И имеющую высоту 1 м., при
заданной начальной скорости 18 м/сек.
Воспользуемся методом Подбор параметра
Установить для ячеек В21:В25 точность один знак после запятой
Ввести в ячейки В21, В22, и В23 значения расстояния до мишени S=30 м, начальной скорости V0=18 м/сек и угла А=350
В ячейку В25 ввести формулу для вычисления высоты мячика над землей на расстоянии для заданных начальных условий:
L=S*TAN(A)-G*S2/(2*V02*COS2(A))
Вместо переменных писать ячейки, в которых расположены их значения
Для заданных начальных условий определим углы, которые обеспечивают попадание в мишень на высотах 0 и1 м.
Выделить ячейку В25 и ввести команду:
Сервис/Подбор параметра
На появившейся диалоговой панели ввести в поле Значения: наименьшую высоту попадания в мишень (то есть 0). В поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес ячейки, содержащей значение угла (в данном случае $B$23)
В ячейке В23 появится значение 32,6.
Повторить процедуру подбора параметра для максимальной высоты попадания в мишень - в ячейке В23 получим значение 36,1.
Что показывает , исследование компьютерной модели показало, какой диапазон значений угла бросания?который обеспечивает попадание в мишень высотой 1 м., находящуюся на расстоянии 30 м., мячиком, брошенным со скоростью 18 м/сек.
Повторить процедуру определения диапазона углов, которые обеспечивают попадание в мишень, имеющую высоту 2 метра при начальном значении 550
Подготовить отчет по работе в текстовом процессоре MS WORD.