Лабораторная работа № 10 определение индуктивности катушки, емкости конденсатолра и проверка закона ома для переменного тока
Цель работы. Изучение основных закономерностей электрических цепей переменного тока и знакомство с простейшими способами измерения индуктивности и емкости.
Краткие теоретические сведения
Под действием переменной электродвижущей силы (ЭДС) в электрической цепи, в ней возникает переменный ток.
Переменным называется такой ток, который изменяется по направлению и по величине. В данной работе рассматривается только такой переменный ток, величина которого изменяется периодически по синусоидальному закону.
Рассмотрение синусоидального тока вызвано тем обстоятельством, что все крупные электростанции вырабатывают переменные токи, весьма близкие к синусоидальным токам.
Переменный ток в металлах представляет собой движение свободных электронов то в одном, то в противоположном направлении. При синусоидальном токе характер этого движения совпадает с гармоническими колебаниями. Таким образом, синусоидальный переменный ток имеет период Т время одного полного колебания и частоту v число полных колебаний за единицу времени. Между этими величинами имеется зависимость
|
, |
|
. |
Циклическая частота равна
|
. |
Цепь переменного тока, в отличие от цепи постоянного тока, допускает включение конденсатора.
Если обкладки конденсатора присоединить к источнику постоянного тока, то в цепи пойдет быстро уменьшающийся ток, который прекратится, когда на обкладках конденсатора возникнет разность потенциалов, компенсирующая ЭДС источника тока. Если же обкладки конденсатора присоединить к источнику переменной ЭДС, то они непрерывно будут перезаряжаться, и в цепи все время будет идти ток.
Соединим последовательно конденсатор, емкость которого С, с катушкой, имеющей активное сопротивление R и индуктивность L (сопротивление проводящих проводов будем считать малым по сравнению с R); к концам этой цепи М и N(рис. 1) приложим переменную ЭДС
, (1)
где мгновенное значение ЭДС; максимальная (амплитудная) ЭДС; циклическая частота переменной ЭДС; t время.
В цепи кроме ЭДС действует еще и ЭДС самоиндукции, равная , где I сила тока. Таким образом, в цепи действует полная ЭДС, равная
|
. |
Согласно второму правилу Кирхгофа, алгебраическая сумма падений потенциала в контуре (цепи) (U разность потенциалов между обкладками конденсатора) равна алгебраической сумме ЭДС в контуре. Следовательно,
|
. |
(2) |
Если q заряд конденсатора, то
|
. |
(3) |
Ток в цепи равен увеличению заряда конденсатора за единицу времени
|
. |
(4) |
Учитывая (1) и (3), из (2) получаем
|
. |
Дифференцируя последнее уравнение по времени и учитывая (4), получим
|
. |
(5) |
Уравнение (5) представляет собой дифференциальное уравнение, решением которого является такая функция силы тока от времени I(t), при подстановке которой в (5) левая часть уравнения тождественно (для всех значений t) становится равной правой части.
Решение уравнения (5) для установившегося процесса имеет вид
, (6)
где I мгновенное значение переменного тока; максимальное (амплитудное) значение тока; начальная фаза тока, причем
|
. |
(7) |
Амплитудное значение тока выражается через параметры цепи следующим образом:
|
. |
(8) |
Подставляя выражение для I из (6) в уравнение (5), можно убедиться, что (6) тождественно удовлетворит (5), если принять во внимание формулы (7) и (8).
Из (6) следует, что в цепи течет переменный ток, частота которого равна частоте приложенной ЭДС , но ток сдвинут по фазе относительно ЭДС на величину . Таким образом, в цепи устанавливаются вынужденные незатухающие колебания.
Формула (8), выражающая зависимость амплитуды тока от амплитуды ЭДС , по своей форме напоминает закон Ома, причем роль сопротивления играет величина
|
, |
(9) |
называемая полным сопротивлением или импедансом цепи. Поэтому выражение (8) называют законом Ома для переменного тока.
В данной работе активное сопротивление R катушки определяется при помощи закона Ома для участка цепи постоянного тока.
В полученные формулы для переменного тока входят амплитудные (максимальные) значения тока и ЭДС . Но амперметры и вольтметры в цепи переменного тока измеряют не амплитудные значения тока и напряжения, а эффективные (действующие) значения этих величин. Переменный ток, проходя через проводник с активным сопротивлением R, выделяет в этом проводнике за некоторый промежуток времени t определенное количество тепла. Под эффективной величиной переменного тока понимают величину такого постоянного тока, который, проходя через то же сопротивление R, выделяет в проводнике за время t такое же количество тепла, как и переменный ток. Расчет показывает, что для синусоидальных токов
|
. |
(10) |
Аналогично определяется эффективное напряжение
|
, |
(11) |
где амплитудное значение напряжения, а эффективная ЭДС переменного тока (12)
|
. |
Из формул (10) и (12) следует, что |
|
, |
(13) |
поэтому в формулу закона Ома для переменного тока (8) можно вместо величин и соответственно подставить величины и .
Если к точкам М и N (рис. 1) подключить вольтметр, то он практически покажет , если сопротивление источника переменной ЭДС мало по сравнению с сопротивлением внешнего участка цепи. Если же сопротивление источника ЭДС велико, то подключенный к точкам М и N вольтметр покажет падение напряжения на внешней цепи. В соответствии с изложенным, закон Ома для переменного тока получит вид
|
. |
(14) |
Рассмотрим два частных случая.
1. В цепи отсутствует конденсатор. Это значит, что конденсатор отключается и вместо него цепь замыкается проводником, падение потенциала на котором практически равно нулю, то есть величина U в уравнении (2) равна нулю. Условие удовлетворяется, если во всех выражениях, содержащих величину С, перейти к пределу .
При из формул (6), (7), (9) и (14) соответственно получаем
, (15)
|
, |
(16) |
|
, |
(17) |
|
, |
(18) |
где полное сопротивление цепи при отсутствии в ней конденсатора. Величина называется индуктивным сопротивлением. Из сопоставления уравнений (1) и (15) следует, что ток отстает по фазе от напряжения, то есть фаза тока на величину меньше фазы напряжения.
Из (17) и (18) получаем
|
, |
(19) |
|
. |
(20) |
2. В цепи отсутствует катушка: следовательно .
При из формул (6), (7) и (14) соответственно имеем
, (21)
|
, |
(22) |
|
. |
(20) |
Из сопоставления уравнений (1) и (21) следует, что ток опережает напряжение по фазе на величину , т.е. фаза тока больше фазы напряжений.
Считая активное сопротивление R соединительных проводов малым по сравнению с общим сопротивлением цепи , из формулы (9) получаем
|
, |
(24) |
где общее сопротивление цепи при L = 0 и R = 0. Величина называется емкостным сопротивлением.
Из (23) при R = 0 имеем
|
, |
(25) |
а из (24) получаем
|
. |
(26) |
Следует отметить, что при из (22) имеем . Это значит, что , то есть в данном случае ток опережает напряжение по фазу на .
Сопротивления так же как и активное сопротивлениеR, в системе СИ выражается в Омах.