Теория вероятностей

  ЗАДАНИЕ N 25 сообщить об ошибке Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса Собирается партия исправных изделий с двух предприятий. Первое предприятие поставляет 30% всех изделий, а второе – 70%. Вероятность исправной работы изделия первого предприятия равна 0,8, второго – 0,7. Тогда вероятность того, что случайно взятое изделие будет неисправным, равна …

Решение: Для вычисления вероятности события  A (случайно взятое изделие будет неисправным) применим формулу полной вероятности: . Здесь  – вероятность того, что изделие изготовлено первым предприятием;  – вероятность того, что изделие изготовлено вторым предприятием;  – условная вероятность того, что случайно взятое изделие будет неисправным, если оно изготовлено на первом предприятии;  – условная вероятность того, что случайно взятое изделие будет неисправным, если оно изготовлено на втором предприятии. Тогда

  ЗАДАНИЕ N 26 сообщить об ошибке Тема: Определение вероятности После бури на участке между 50-ым и 70-ым километрами высоковольтной линии электропередач произошел обрыв проводов. Тогда вероятность того, что авария произошла между 60-ым и 63-им километрами, равна …

Решение: Для вычисления вероятности искомого события применим геометрическое определение вероятности и воспользуемся формулой , где , а . Тогда

  ЗАДАНИЕ N 27 сообщить об ошибке Тема: Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей: Тогда значение параметра  равно …

Решение: Так как , то , или . Тогда  и .

  ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке Тема: Числовые характеристики случайных величин Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно …

			2
			8

Решение: Воспользуемся формулой . Тогда

  ЗАДАНИЕ N 33 сообщить об ошибке Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса В первой урне 7 черных и 3 белых шара. Во второй урне 4 черных и 6 белых шаров. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар был вынут из первой урны, равна …

Решение: Предварительно вычислим вероятность события  A (вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: . Здесь  – вероятность того, что шар извлечен из первой урны;  – вероятность того, что шар извлечен из второй урны;  – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой урны;  – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй урны. Тогда Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой урны, по формуле Байеса:

  ЗАДАНИЕ N 34 сообщить об ошибке Тема: Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин Дан график плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины : Тогда график ее функции распределения вероятностей имеет вид …

Решение: Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле . Тогда: если , то , следовательно ; если , то ; если , то Тогда график  будет иметь вид:

  ЗАДАНИЕ N 35 сообщить об ошибке Тема: Определение вероятности Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что число очков, выпавших на верхней грани, будет меньше трех, равна …

			1

Решение: Для вычисления события  (число очков, выпавших на верхней грани, будет меньше трех) воспользуемся формулой , где  – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события  A. В нашем случае возможны  элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида  или , то есть . Следовательно, .

  ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке Тема: Числовые характеристики случайных величин Случайная величина X распределена по показательному закону с плотностью распределения вероятностей  Тогда ее математическое ожидание и дисперсия равны …

Решение: Плотность распределения вероятностей случайной величины X, распределенной по показательному закону, имеет вид  и математическое ожидание и дисперсия равны соответственно:   Тогда  и

  ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке Тема: Числовые характеристики случайных величин Дискретная случайная величина  X  задана законом распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно …

			2,1
			0,9
			3,3
			2,2

Решение: Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле . Тогда  

  ЗАДАНИЕ N 22 сообщить об ошибке Тема: Определение вероятности Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что число очков, выпавших на верхней грани, будет меньше трех, равна …

			1

Решение: Для вычисления события  (число очков, выпавших на верхней грани, будет меньше трех) воспользуемся формулой , где  – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события  A. В нашем случае возможны  элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида  или , то есть . Следовательно, .

  ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке Тема: Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей: Тогда вероятность  равна …

Решение: Воспользуемся формулой   . Тогда

  ЗАДАНИЕ N 24 сообщить об ошибке Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса В первой урне 7 черных и 3 белых шара. Во второй урне 4 черных и 6 белых шаров. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар был вынут из первой урны, равна …

Решение: Предварительно вычислим вероятность события  A (вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: . Здесь  – вероятность того, что шар извлечен из первой урны;  – вероятность того, что шар извлечен из второй урны;  – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой урны;  – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй урны. Тогда Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой урны, по формуле Байеса:

  ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 мин, равно двум.  Тогда вероятность того, что за четыре минуты прибудут ровно шесть самолетов, можно вычислить как …

Решение: Вероятность наступления k событий простейшего потока за время t, определяется формулой Пуассона:  где  – интенсивность потока. Тогда, так как      то