Дифференциальное и интегральное исчисление

  ЗАДАНИЕ N 36 сообщить об ошибке Тема: Свойства определенного интеграла Среднее значение функции  на отрезке  равно …

Решение: Среднее значение функции  непрерывной на отрезке  вычисляется по формуле  где  Тогда

  ЗАДАНИЕ N 17 сообщить об ошибке Тема: Методы вычисления определенного интеграла Определенный интеграл  равен …

Решение: Для вычисления данного определенного интеграла произведем замену переменных: , , , и перейдем к новым пределам интегрирования: , . Тогда

  ЗАДАНИЕ N 18 сообщить об ошибке Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Полный дифференциал функции  имеет вид …

Решение: Полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных, то есть . Тогда

  ЗАДАНИЕ N 37 сообщить об ошибке Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Приближенное значение функции  в точке  вычисленное с помощью полного дифференциала, равно …

			0,51
			1,71
			4,29
			0,45

Решение: Воспользуемся формулой где       Вычислим последовательно       Тогда

  ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке Тема: Производные первого порядка Производная функции  равна …

Решение: .

  ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке Тема: Предел функции Предел  равен …

			0
			1

Решение: Для раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на :

  ЗАДАНИЕ N 14 сообщить об ошибке Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Частная производная  функции  имеет вид …

Решение: При вычислении частной производной  по переменной , переменную  рассматриваем как постоянную величину. Тогда

  ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке Тема: Методы вычисления определенного интеграла Определенный интеграл  равен …

Решение: Для вычисления определенного интеграла применим формулу Ньютона-Лейбница: , где  – первообразная функции . Тогда  

  ЗАДАНИЕ N 9 сообщить об ошибке Тема: Предел функции Предел  равен …

Решение: Разложим числитель и знаменатель на линейные множители как  и . .

  ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке Тема: Методы вычисления определенного интеграла Определенный интеграл  равен …

Решение: Для вычисления определенного интеграла применим формулу Ньютона-Лейбница: , где  – первообразная функции . Тогда .

  ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке Тема: Производные первого порядка Производная функции  равна …

Решение: .

  ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Частная производная второго порядка  функции  имеет вид …

Решение: При вычислении частной производной функции  по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда  и

Ряды

  ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке Тема: Область сходимости степенного ряда Область сходимости степенного ряда  имеет вид …

Решение: Вычислим предварительно радиус сходимости этого ряда по формуле , где . Тогда . Следовательно, интервал сходимости ряда имеет вид . Для того чтобы найти область сходимости степенного ряда, исследуем сходимость ряда в граничных точках. В точке  ряд примет вид . Данный ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда: В точке  получаем знакочередующийся ряд . Аналогично получаем , то есть ряд расходится. Таким образом, область сходимости ряда имеет вид .

  ЗАДАНИЕ N 22 сообщить об ошибке Тема: Ряд Тейлора (Маклорена) Если , то коэффициент  разложения данной функции в ряд Маклорена по степеням  равен …

Решение: Так как коэффициенты данного ряда вычисляются по формуле , то вычислим последовательно производные:     . Тогда

  ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке Тема: Числовые последовательности Числовая последовательность задана рекуррентным соотношением , . Тогда  равно …

Решение: Вычислим последовательно: , , .

  ЗАДАНИЕ N 24 сообщить об ошибке Тема: Сходимость числовых рядов Даны числовые ряды: А) , В) . Тогда …

			ряд А) сходится, ряд В) расходится
			ряд А) расходится, ряд В) расходится
			ряд А) сходится, ряд В) сходится
			ряд А) расходится, ряд В) сходится

Решение: Для исследования сходимости ряда  применим радикальный признак сходимости Коши. Тогда , то есть ряд сходится. Для исследования сходимости ряда  применим теорему сравнения, для чего воспользуемся расходящимся гармоническим рядом . Тогда , то есть оба ряда расходятся или сходятся одновременно. В нашем случае ряд  будет расходится.

 ЗАДАНИЕ N 25 сообщить об ошибке Тема: Числовые последовательности Общий член числовой последовательности    имеет вид …

  ЗАДАНИЕ N 26 сообщить об ошибке Тема: Сходимость числовых рядов Сумма числового ряда  равна …

Решение: Представим общий член этого ряда в виде суммы простейших дробей: , и вычислим  – ую частичную сумму ряда: . Тогда

  ЗАДАНИЕ N 27 сообщить об ошибке Тема: Ряд Тейлора (Маклорена) Если , то коэффициент  разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням  равен …

Решение: Так как коэффициенты данного ряда Тейлора вычисляются по формуле , то вычислим последовательно производные: , . Тогда .

  ЗАДАНИЕ N 33 сообщить об ошибке Тема: Числовые последовательности Числовая последовательность задана формулой общего члена . Тогда значение  равно …

Решение: Подставим в формулу общего члена значение . Тогда .

 ЗАДАНИЕ N 34 сообщить об ошибке Тема: Ряд Тейлора (Маклорена) Разложение в ряд Маклорена функции  имеет вид: Тогда для функции , коэффициент  разложения данной функции в ряд Маклорена равен …

  ЗАДАНИЕ N 35 сообщить об ошибке Тема: Сходимость числовых рядов Сумма числового ряда  равна …

Решение: Так как , то сумма данного ряда представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. То есть

  ЗАДАНИЕ N 13 сообщить об ошибке Тема: Сходимость числовых рядов Расходящимся является числовой ряд …

Решение: Из представленных числовых рядов расходящимся является ряд  Действительно, так как при применении признака Даламбера, получаем:   Для остальных рядов аналогичный предел будет принимать значения, меньшие единицы.