Периодические функции

Определение 4. Говорят, что функция f(x) имеет период Т, если для любого  значения х, при котором она определена, выполняются    равенства f(х—Т)=f(х) =f(х+T). Функция f(х), имеющая отличный от нуля период Т. называется периодической.

Из этого определения следует, что если функция f(x) с периодом Т определена в точке х, то она определена и в точках x+T, x-T.

Теорема 3. Если функция f(х) имеет период Т, то любое число, кратное Т (т. е. число вида kТ, k.), также является ее периодом.

 Докажем, например, что 2Т—период функции f(x). Имеем

F(x)=f(x+T)=f((x+T)+T)=f(x+2T),

F(x)=f(x-T)=f((x-T)-T)=f(x-2T).

Аналогично доказывается, что f(х)=f(x+3T)= f(х—3T) и вообще f(x-kT)= f(x) = f(x+kT) для любого k. Значит, все числа вида kT(k) -периоды функции.

Таким образом, периодическая функция имеет бесконечное множество различных периодов. Если среди положительных периодов периодической функции существует наименьший, то его называют основным периодом этой функции; все остальные ее периоды кратны основному периоду.

Периодическая функция не всегда имеет основной период. Например, функция Дирихле периодическая: любое рациональное число является ее периодом. Однако среди положительных рациональных чисел нет наименьшего.

Графики периодических функций обладают следующей особенностью:

если Т -- основной период функции у == f(х), то для построения ее графика достаточно построить ветвь графика на одном из промежутков длины Т, а затем произвести параллельный перенос этой ветви вдоль оси х на ±Т, ±2Т,

±3Т, .... Чаще всего в качестве такого промежутка длины Т выбирают промежуток с концами в точках (-Т/2; 0) и (Т/2; 0) или (0; 0) и (Т;0)

Пример. Доказать, что функций у = {х} ({х}—дробная часть числа х.) является периодической.

 Очевидно, что числа х и х+k имеют одинаковую дробную часть, т. е. {х} ={х+k}. Значит, любое целое число и является периодом функции {х}, а основной период Т = 1.

Монотонные функции

Определение 5. Функция у=f (х) называется возрастающей на промежутке X, если для любых двух точек x₁,x₂ этого промежутка таких, что x₁<x₂, выполняется неравенство f(x₁)<f(x₂) (иными словами, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции), функция у = f(x) называетсяубывающей на промежутке X, если для любых двух точек x₁>x₂, этого промежутка таких, что выполняется  неравенство f(x₁)>f(x₂) (иными словами, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

При движении вдоль оси абсцисс слева направо ордината графика возрастающей функции увеличивается, а ордината графика убывающей функции уменьшается.

Возрастающие и убывающие функции объединяются термином монотонные функции.

Геометрические изображения позволяют убедиться в справедливости следующих утверждений:

1.     Если функция у =f(х) четна и возрастает при х>0, то она убывает при х<0 .

2.      Если функция у=f(х) четна и убывает при х>0, то она возрастает при х<0.

3.     Если функция у = f(х) нечетна и возрастает при х>-0, то она возрастает и при х-<0.

4.      Если функция у = f(х) нечетна и убывает при x>0, то она убывает и при х<0.

5.      Монотонная функция не может быть периодической.

Примеры. I. Исследовать на монотонность функцию у = х³.

   Эта функция является нечетной; значит, достаточно провести исследование для промежутка на [0,+]. Если 0<x₁<x₂, то x³₁<x³₂. Значит, из x₁<x₂ следует f(x₁)<f(x₂) , т. е. функция возрастает при x. Тогда на основании свойства 3 она возрастает и при х<о. Наконец, так как для х₁<0 и x₂ >0 очевидно, что f(x₁)<f(x₂), то можно сделать вывод о том, что функция возрастает не только при х<0 и при х>0, но и на всей числовой прямой.

2. Исследовать на монотонность функцию y=x²+2.

 Данная функция четная. Если 0<x₁<x₂, то используя свойства числовых неравенств, получим x²₁+2<x²₂+2, т. е. f(x₁)<f(x₂). Значит, функция возрастает при х>0. Тогда, согласно свойству 1, она убывает при х<0.