Задание №2.
1. На основе структурной группировки построить вариационные частотные и кумулятивные ряды распределения, оформить в таблицы, изобразить графически.
2. Проанализировать вариационные ряды распределения, вычислив для каждого из них:
среднее арифметическое значение признака;
медиану и моду;
среднее квадратическое отклонение;
коэффициент вариации.
3. Сделать выводы.
Решение:
Ряд распределения – это числовой ряд, который представляет собой упорядоченное распределение единиц статистической совокупности. Он характеризует состав (структуру) изучаемого явления.
Объем совокупности: N = 50.
Таблица 2.1
Вариационный частотный и кумулятивный ряд распределения по балансовой прибыли производственных предприятий, тыс.руб.
|
|
Середина интервала
(тыс.руб.),
|
Показатель накопленной частоты |
80 – 88 |
3 |
84 |
3 |
88 – 96 |
20 |
92 |
23 |
96 -104 |
18 |
100 |
41 |
104 – 112 |
7 |
108 |
48 |
112 - 120 |
2 |
116 |
50 |
Итого |
50 |
|
|
Гистограмма – графическое изображение интервального ряда распределения. При ее построении на оси абсцисс откладывают интервалы ряда. Над осью абсцисс строятся прямоугольники, основанием которых является интервал, а высота – соответствующая этому интервалу частота.
Кумулята – ломаная линия, изображающая ряд накопленных частот. Накопленные частоты наносятся в системе координат в виде ординат для границ интервалов; соединяя нанесенные точки отрезками прямых, получаем кумуляту. Кумуляту называют также полигоном накопленных частот.
Рис.1. Гистограмма вариационного ряда балансовой прибыли, тыс.руб.
Рис. 2. Кумулята вариационного ряда балансовой прибыли, тыс.руб.
Объем совокупности: N = 50.
Таблица 2.2
Вариационный частотный и кумулятивный ряд распределения по дебиторской задолженности на конец года, тыс.руб.
|
|
Середина интервала (тыс.руб.), |
Показатель накопленной частоты, |
2 - 3,167 |
12 |
2,5835 |
12 |
3,167 – 4,334 |
6 |
3,7505 |
18 |
4,334 – 5,501 |
8 |
4,9175 |
26 |
5,501 – 6,668 |
13 |
6,0845 |
39 |
6,668 – 7,835 |
3 |
7,2515 |
42 |
7,835 - 9 |
8 |
8,4185 |
50 |
Итого |
50 |
|
|
Рис. 3. Гистограмма вариационного ряда по дебиторской задолженности, тыс.руб.
Рис.
4. Кумулята вариационного по дебиторской
задолженности, тыс.руб.
Среднее арифметическое значение признака
Таблица 2.3
Вычисление среднего арифметического значения признака для вариационного ряда распределения балансовой прибыли, тыс.руб.
|
|
Середина интервала (тыс.руб.), |
|
80 – 88 |
3 |
84 |
252 |
88 – 96 |
20 |
92 |
1840 |
96 -104 |
18 |
100 |
1800 |
104 – 112 |
7 |
108 |
756 |
112 - 120 |
2 |
116 |
232 |
Итого |
50 |
|
4880 |
тыс.руб.
– среднее
значение балансовой прибыли, тыс.руб.
Таблица 2.4
Вычисление среднего арифметического значения признака для вариационного ряда распределения дебиторской задолженности на конец года, тыс.руб.
|
|
Середина интервала (тыс.руб.), |
|
2 - 3,167 |
12 |
2,5835 |
31,002 |
3,167 – 4,334 |
6 |
3,7505 |
22,503 |
4,334 – 5,501 |
8 |
4,9175 |
39,34 |
5,501 – 6,668 |
13 |
6,0845 |
79,0985 |
6,668 – 7,835 |
3 |
7,2515 |
21,7545 |
7,835 - 9 |
8 |
8,4185 |
67,348 |
Итого |
50 |
|
261,046 |
тыс.руб.
– среднее
значение дебиторской задолженности на
конец года, тыс.руб.
Мода (М о ) – наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности.
Если ряд равноинтервальный, то используется формула:
где
– начало интервала,
содержащего моду,
- величина
интервала, содержащего моду,
-
частота того
интервала, в котором расположена мода,
–
частота интервала,
предшествующего модальному,
–
частота интервала,
следующего за модальным.
Таблица 2.5
Вычисление моды показателей балансовой прибыли, тыс.руб..
|
|
80 – 88 |
3 |
88 – 96 |
20 |
96 -104 |
18 |
104 – 112 |
7 |
112 - 120 |
2 |
Итого |
50 |
Второй интервал содержит моду, значит:
тыс.руб.
тыс.руб.
Подставим эти данные в формулу вычисления моды:
тыс.руб.
Таблица 2.6
Вычисление моды для дебиторской задолженности на конец года, тыс.руб.
|
|
2 - 3,167 |
12 |
3,167 – 4,334 |
6 |
4,334 – 5,501 |
8 |
5,501 – 6,668 |
13 |
6,668 – 7,835 |
3 |
7,835 - 9 |
8 |
Итого |
50 |
тыс.руб.
тыс.руб.
Подставим эти данные в формулу вычисления моды:
тыс.руб.
Вывод: большинство предприятий имеют значения балансовой прибыли на конец года около 95,157 тыс.руб., значения дебиторской задолженности на конец года, тыс.руб. у большинства предприятий около 721,403 тыс.руб.
Медиана (Ме ) – это такое значение признака, которое делит объем совокупности пополам в том смысле, что число элементов совокупности с индивидуальными значениями признака, меньшими медианы, равна числу элементов совокупности с индивидуальными значениями больше медианы.
Численное значение медианы определяется по ряду накопленных частот.
,
где
–
начало интервала,
содержащего медиану,
–
величина интервала,
содержащего медиану,
–
накопленная частота
на начало интервала, содержащего медиану,
–
объем совокупности,
–
частота того
интервала, в котором расположена медиана.
Таблица 2.7
Вычисление медианы для балансовой прибыли, тыс.руб.
|
|
Показатель накопленной частоты |
80 – 88 |
3 |
3 |
88 – 96 |
20 |
23 |
96 -104 |
18 |
41 |
104 – 112 |
7 |
48 |
112 - 120 |
2 |
50 |
Итого |
50 |
|
50/2=25. Значит, медиана находится в третьем интервале.
тыс.руб.
тыс.руб.
тыс.руб.
Таблица 2.8
Вычисление медианы для дебиторской задолженности на конец года, тыс.руб.
|
|
Показатель накопленной частоты, |
2 - 3,167 |
12 |
12 |
3,167 – 4,334 |
6 |
18 |
4,334 – 5,501 |
8 |
26 |
5,501 – 6,668 |
13 |
39 |
6,668 – 7,835 |
3 |
42 |
7,835 - 9 |
8 |
50 |
Итого |
50 |
|
тыс.руб.
тыс.руб.
тыс.руб.
Вывод: половина предприятий имеют значение балансовой прибылт меньше 96,889 тыс.руб., другая – больше 96,889 тыс.руб.
Половина предприятий имеют значение дебиторской задолженности на конец года меньше 5,355 тыс.руб., другая – больше 5,355 тыс.руб.
Дисперсия (
)
– это
среднее из квадратов отклонений от
средней величины, для вариационного
ряда она определяется по формуле:
Если ряд интервальный, то в качестве варианты (xi ), также как при расчете средней, берется середина интервала.
Среднее
квадратическое отклонение (
)
– показатель,
который представляет собой квадратный
корень из дисперсии. Среднее квадратическое
отклонение – это обобщающая характеристика
размеров вариации признака в совокупности;
оно показывает, на сколько в среднем
отклоняются конкретные варианты от их
среднего значения и выражается в тех
же единицах, что и варианты признака.
Таблица 2.9
Вычисление среднего квадратического отклонения для балансовой прибыли, тыс.руб.
|
Середина интервала (тыс.руб.), |
|
|
|
3 |
84 |
-13,6 |
184,96 |
554,88 |
20 |
92 |
-5,6 |
31,36 |
627,2 |
18 |
100 |
2,4 |
5,76 |
103,68 |
7 |
108 |
10,4 |
108,16 |
757,12 |
2 |
116 |
18,4 |
338,56 |
677,12 |
|
|
|
|
2592 |
тыс.руб.
Таблица 2.10
Вычисление среднего квадратического отклонения дебиторской задолженности на конец года, тыс.руб.
|
Середина интервала (тыс.руб.), |
|
|
|
12 |
2,5835 |
-2,6375 |
6,956 |
83,477 |
6 |
3,7505 |
-1,4705 |
2,162 |
12,974 |
8 |
4,9175 |
-0,3035 |
0,092 |
0,737 |
13 |
6,0845 |
0,8635 |
0,746 |
9,693 |
3 |
7,2515 |
2,0305 |
4,123 |
12,369 |
8 |
8,4185 |
3,1975 |
10,224 |
81,792 |
50 |
|
|
|
201,042 |
тыс.руб.
Вывод: по полученным данным среднего квадратического отклонения можно сделать вывод об однородности исследуемых совокупностей. Первая совокупность (балансовая прибыль, тыс.руб.) однородна. А вторая (дебиторская задолженность на конец года, тыс.руб.) – неоднородна. Среднее квадратическое отклонение – мерило надежности средней: чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше среднее арифметическое отражает собой всю представленную совокупность.
Коэффициент вариации (V) – относительный показатель колеблемости признака в данной совокупности.
Он позволяет сравнивать вариации различных признаков, а также одноименных признаков в разных совокупностях. Его используют для характеристики однородности совокупности.
Для значений балансовой прибыли, тыс.руб.:
Для значений дебиторской задолженности на конец года, тыс.руб.:
Вывод: совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. По нашим расчетам имеющиеся совокупности неодинаковы. Колеблемость признака в совокупности признак-фактора составляет 38,4% (совокупность неоднородна), признак-результата – 7,37% (совокупность однородна).