3. Формула полной вероятности:

1. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из неё наудачу

извлечён один шар. Найти вероятность того, что извлечённый шар окажется белым,

если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров

(по цвету).

2. В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечён один шар. Найти вероятность того, что извлечённый шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

3. В вычислительной лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчёта автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчёт на удачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчёта машина не выйдет из строя.

4. В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведёт один выстрел из наудачу взятой винтовки.

5. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 деталей – на заводе №2, 18 деталей – на заводе №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе №1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлечённая наудачу деталь окажется отличного качества.

6. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем их этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

7. В каждой из трёх урн содержится 6 чёрных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечён один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечён один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлечённый из третьей урны, окажется белым.

8. Имеются три одинаковых ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 чёрных шаров, в третьем – 20 чёрных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

9. В первой урне 5 белых и 10 чёрных шаров, во второй – 3 белых и 7 чёрных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – белый.

10. В первой урне: 1 белый и 2 чёрных шара, во второй: 100 белых и 100 чёрных шаров. Из второй урны переложили в первую один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар ранее находился во второй урне, если известно, что он белый?

3. Формула Бейеса.

1. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер.

Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго.

Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй –

84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти

вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

2. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность

того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом,

равна 0,95; для винтовки без оптического прицела – 0,8. Стрелок поразил мишень из

наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим

прицелом или без него?

3. Прибор состоит из двух узлов. Если отказывает хотя бы один узел прибор не

функционирует. Вероятность безотказной работы в течение дня равны соответственно

для первого узла 0,9, а для второго 0,8. В течение дня прибор отказал. Найти

вероятность того, что отказал первый узел, а второй исправен. Отказы узлов

происходят независимо.

4. На вычислительный центр поставлены дисплеи двух производителей: 30% - от

первого, а остальные – от второго поставщика. Вероятность наличия скрытого дефекта

дисплея от первого поставщика равна 0,05, а от второго 0,01. Какова вероятность того,

что случайно выбранный дисплей имеет скрытый дефект?

4. Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй – 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица. (Предполагается, что оба перфоратора исправны.)

5. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадёт к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

6. Имеются 3 партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

7. Батарея из трёх орудий произвела залп, причём два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьем орудиями соответственно равны: 0,4; 0,3; 0,5.

8. Три стрелка произвели залп, причём две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым, третьим стрелками соответственно равны: 0,2; 0,4; 0,3.

9. Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую извлечённую наудачу кость можно приставить к первой.

Литература: Щипачёв В.С. Высшая математика. – {2}.

Ведущий преподаватель, доцент Бычкова Л.М.

Рассмотрено на заседании кафедры «___» ____20___г. (протокол №____)

Заведующий кафедрой

естественнонаучных дисциплин

к.п.н. Симонов Ю. В.

Экзаменационные вопросы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»-2 курс

1. Сформулируйте классическое определение вероятности. В чем ограниченность этого определения?

2. Сформулируйте свойства вероятности.

3. Сформулируйте классическое определение относительной частоты.

4. Свойство устойчивости относительной частоты.

5. В чем различие между вероятностью и относительной частотой?

6. Сформулируйте определение статистической вероятности. Условия её существования.

7. Когда применяют геометрическое определение вероятности? Почему в этих случаях нельзя пользоваться классическим определением?

8. Дайте определение суммы событий. Приведите примеры: суммы двух несовместных событий.

9. Дайте определение суммы событий. Приведите примеры: суммы двух совместных событий.

10. Сформулируйте принцип практической невозможности маловероятных событий.

11. Сформулируйте определение полная группа событий.

12. Какие события называют противоположными?

13. Сформулируйте теорему о сложении вероятностей несовместных событий.

14. Дайте определение произведения событий. Приведите примеры: произведения двух независимых событий; произведения двух зависимых событий.

15. Что такое условная вероятность?

16. Сформулируйте теорему об умножении вероятностей для двух событий (общий случай). Какую форму принимает эта теорема в случае, когда события независимы?

17. Сформулируйте определение вероятности хотя бы одного события и её частный случай.

18. Сформулируйте определение полной вероятности и приведите её формулу.

19. Приведите формулы Байеса.

20. Что называют гипотезами?

21. Дайте определение математической статистики и перечислите её задачи.

22. Сформулируйте определение выборки, укажите в каких случаях её применяют.

23. Сформулируйте сущность выборочного метода. Его применение.

24. Дайте определение статистического распределения выборки. Способы задания статистического распределения.

25. Сформулируйте определение полигона частот и опишите алгоритм его построения.

26. Сформулируйте определение гистограммы частот и опишите алгоритм её построения.

27. Сформулируйте определение эмпирической функции. Какими свойствами она обладает?