Яблонский Задачи по динамике1 / Задача Д2

Задача Д2

Груз 1 массой укреплен на пружинной подвеске в лифте. Лифт движется вертикально по закону (ось z направлена по вертикали вверх; z выражено в метрах, t – в секундах). На груз действует сила сопротивления

Найти закон движения груза по отношению к лифту, т.е. ; начало координат поместить в точке, где находится прикрепленный к грузу конец пружины, когда пружина не деформирована. Ось х направить в сторону удлинения пружины, а груз изобразить в положении, при котором х>0, т.е. пружина растянута. Принять g=10 м/с². Массой пружин и соединительной планки 2 пренебречь.

с₁ и с₃ – коэффициенты жесткости пружин, λ₀ – удлинение пружины с эквивалентной жесткостью в начальный момент времени t=0, - начальная скорость груза по отношению к лифту (направлена вертикально вверх).

Условие означает, что сила сопротивления R отсутствует.

Дано: m=1кг с1=240 Н/м с3=160 Н/м λ0=0 υ0=0 -?

Решение: 1.Заменим прикрепленные к грузу пружины одной эквивалентной пружиной с коэффициентом жесткости сэк=с. Каждая из пружин и эквивалентная пружина при равновесии имеют одно и то же удлинение λ. Для двух пружин , для эквивалентной пружины , отсюда .

2.Составим дифференциальное уравнение относительного движения груза (по отношению к лифту). Свяжем с лифтом подвижную систему отсчета, начало которой О поместим в конце недеформированной пружины, а ось x направим в сторону удлинения пружины. l₀- длина эквивалентной пружины в недеформированном состоянии. Рассмотрим груз в положении, при котором пружина растянута. На груз действует сила тяжести и сила упругости . Переносная сила инерции кориолисова сила инерции равна нулю, так как переносное движение (движение лифта) является поступательным.

Проектируя обе части на ось x, получим

, где λ = x – удлинение пружины, . Учитывая, что оси x и z направлены в противоположные стороны, получим

и

Подставим найденные выражения в уравнение (2)

Дифференциальное уравнение (3) запишем в виде:

2.Для определения закона движения груза проинтегрируем уравнение (4)

– общее решение однородного уравнения , т.е.

– частное решение уравнения (4).

Находим подставляем значения и в уравнение (4) и приравниваем в его обеих частях свободные члены и коэффициенты при .

Общее решение уравнения (4) (

Для определения C₁ и C₂ найдем ;

Подставим в уравнения (9) и (10) начальные данные t=0,

Ответ: