Яблонский Задачи по динамике1 / Задача Д5

Задача Д5

Однородная горизонтальная платформа (прямоугольная со сторонами R и 2R, где R=1,2 м) массой m₁=24 кг вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси z, отстоящей от центра масс C платформы на расстоянии OC=b.

В момент времени t₀=0 по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой m₂=8 кг по закону s=AD=F(t), где s выражено в метрах, t – в секундах. Одновременно на платформы начинает действовать пара сил с моментом M (задан в ньютонометрах; при M<0 его направление противоположно показанному на рисунке).

Определить, пренебрегая массой вала, зависимость , т.е. угловую скорость платформы, как функцию времени.

Дано: m1=24 кг m2=8 кг t0=0 R=1,2 м OC=b=R/2=0,6 м s=AD=F(t)=10t M= - 8t

Решение: Для определения применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:

На систему действуют внешние силы: силы тяжести , реакции и вращающий момент M. Так как силы параллельны оси z, а реакции эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю.

Умножая обе части этого уравнения на dt и интегрируя, получим

Для рассматриваемой механической системы

где - кинетические моменты платформы и груза D соответственно.

Так как платформа вращается вокруг оси z, то . - найдем по формуле Гюйгенса:

где - момент инерции относительно оси , параллельной оси и проходящей через центр С платформы.

Для определения рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по платформе относительным, а вращение самой платформы вокруг оси z переносным движением. Тогда абсолютная скорость груза . Так как груз D движется по закону s=AD=F(t)=10t, то

По теореме Вариньона

найдем по теореме косинусов (

Подставим эту величину в равенство (6)

Тогда уравнение (3)

Постоянную интегрирования определим по начальным условиям: при t=0, .

Подставляем значение в уравнение (8)

Ответ: где t – в секундах, – в с^-1.