6. Остаток от деления аргумента X на y

rest (x,y)

Чтобы иметь дело с всюду определенными функциями, дополнительно положим, что

rest (x, 0)=x для всех x. Ясно, что так определенная функция связана с только что доказанной функцией div (x,y) тождеством

rest (x,y)=x (y ∙ div (x,y) )

и, значит, из примитивной рекурсивности функции div (x,y) напрямую вытекает и примитивная рекурсивность функции rest (x, y).

7. Число различных делителей X (включая число 1)

nd x

Говорят, что число x делится (без остатка) на число y, или что y делит x, если rest (x,y)=0.

Тогда соотношение nd x =  unsg (rest(x,i))) (i =0..x)

Если x≠0, то делители числа x не превосходят x и потому для положительных значений x число nd x совпадает с числом различных делителей x (включая число 1). Из формулы видно, что функция nd примитивно рекурсивна.

8. (n+1)-е простое число в натуральном ряде чисел

p_n

В арифметике натуральное число x называется простым, если оно имеет точно 2 различных делителя. Число 0 имеет бесконечно много, а число 1 лишь один делитель. Поэтому 0 и 1 – не простые числа. Для простых чисел 2, 3, 5, 7, … введем стандартные обозначения p₀=2, p₁=3,… Таким образом, p_n есть (n+1)-е простое число в натуральном ряде чисел.

Обозначим через χ_p (n) характеристическую функцию свойства быть простым числом. Иначе говоря, положим χ_p (n)=0 для n простого и χ_p (n) = 1 для n непростого. Так как простые числа и только они имеют ровно 2 делителя, то

χ_p (x)=sg ‌(nd x-2) ‌

и, следовательно, функция χ_p (x) примитивно рекурсивна.

Одной из наиболее известных арифметических функций являются функция π (x), равная числу простых чисел, не превосходящих x. Формула

(x)= (unsg χ_p(i)) (i =0..x)

gоказывает, что функция π (x) примитивно рекурсивна.

Из определения функции π (x) непосредственно следует, что

π (p_n)=n+1

π (x)<n+1, если x<p_n

Отсюда видно, что x=p_n есть минимальное решение уравнения π (x)=n+1. Поэтому

p_n=p(n)=μ_x(׀ π (x)-(n+1)׀=0).

Стоящая под знаком μ-операции функция ׀ π (x)-(n+1)׀ примитивно рекурсивна. В силу теоремы о мажорируемых неявных функциях для доказательства примитивной рекурсивности функции p(n) остается лишь найти примитивно рекурсивную функцию α(n) такую, чтобы для всех n было p_n<= α(n). Из теории чисел хорошо известно, что в качестве функции α(n) можно взять ₂2ⁿ.

В самом деле, требующееся нам неравенство

p_n<=₂2ⁿ

заведомо истинно при n=0. По индукции далее предполагаем, что неравенство истинно для всех значений n, меньших некоторого числа s+1. Докажем, что оно истинно и для n=s+1.

По предположению имеем

p₀p₁…p_s+1<= ₂2⁰+2¹+…+2^s₊₁<₂2^s+1

Число a=p₀p₁…p_s+1 больше 1 и потому должно иметь какой-то простой делитель p_r. Этот делитель не может совпадать ни с одним из простых чисел p_0, p_{1 ,…,} p_s, так как при делении числа a на любое из чисел p_0, p_{1 , … ,} p_s получаем остаток 1. Но все простые числа, не превосходящие p_s, содержатся в последовательности p_0, p_{1 , …,} p_s. Число p_r в нее не входит и потому p_s+1<=p_r. Так как p_r<=a, то

P_s+1<= a <= ₂2^s+1

что и требовалось.

Итак, неравенство доказано, а вместе с ним доказана и примитивная рекурсивность функции p(x)=p_x.

СЕМИНАР 13

Примитивная рекурсивность функций (окончание).