- •1.Предмет теории вероятностей – анализ случайных явлений: отсутствие детерминистической регулярности и наличие статистической регулярности
- •2.Теория вероятностей как аксиоматизируемая математическая дисциплина
- •2. Эксперимент (опыт, испытание, явление)и его исход (результат, наблюдение)
- •3. Вспомогательная модель. Реализация этой идеи
- •4. Вероятностная модель
- •5. Вспомогательная и Вероятностная модели экспериментов. Однократное и двукратное подбрасывания монеты
- •7. Общая схема построения конечной вероятностной модели – вероятностного пространства
- •8. Произвели эксперимент, известен исход. Произошло ли событие?
- •9. Практическое значение вероятности события
- •11. Аксиомы а.Н. Колмогорова
- •1. Элементарная теория вероятностей
- •10. Необходимые в теории вероятностей сведения из теории множеств и теории меры
- •3. Основное определение
- •12. Непосредственные следствия из аксиом
- •13. Парадокс де Мере
- •14. Применения комбинаторного анализа в теории вероятности
- •2. Основное комбинаторное правило (частный случай)
- •3. Основное комбинаторное правило (общий случай)
- •15. Постановка комбинаторной задачи
- •16. Выборка с возвращением и без возвращения
- •17. Выборки неупорядоченные и упорядоченные
- •18. Упорядоченные выборки с возвращением
- •19. Упорядоченные выборки без возвращения-размещения
- •20. Перестановки
- •21. Неупорядоченные выборки из n элементов по k без возвращения – сочетания
- •24.Употребление термина «случайный» в теории вероятностей
10. Необходимые в теории вероятностей сведения из теории множеств и теории меры
По существу, исходное определение теории вероятностей - определение вероятностного пространства в случае множества с конечным числом элементов в принципе уже дано.
Формулировка аксиом А.Н. Колмогорова или, что, то же самое, вероятностного пространства, требует привлечения понятий из теории множеств и теории меры.
Пусть даны множества и .
Множество, составленное из всех элементов , принадлежащих и и , называют пересечением множеств и , и обозначают через или , их объединение - через , разность - через . Через обозначается пустое множество. Если множества и не пересекаются , то их объединение будет обозначаться также через и называться суммой.
Тем самым, операция вычитания определена без ограничений для всяких множеств и , но в случае разность носит специальное название дополнения - дополнения множества до множества .
В случае разность также называют дополнением до , и обозначают . В тех случаях, когда заранее оговорено, что рассматриваемые множества есть подмножества определенного множества для данного множества дополнение до также обозначают (от английского слова complement- дополнение).
Множество , элементами которого также являются множества, называют системой множеств.
Определение (алгебры множеств). Пусть - некоторое множество. Система А
подмножеств называется алгеброй, если
10. А ,
20. А А
30. А А
Приведенное определение является наиболее сжатым перечислением свойств системы множеств, в развернутом виде означающих следующее:
Система А подмножеств множества называется алгеброй, если А
объединение, пересечение и разность двух множеств системы опять принадлежат этой системе.
Действительно из свойств 20, 30 и теоретико-множественных равенств
и
следует, что пересечение и разность множеств из А также принадлежит А.
Система множеств, составленное из всех подмножеств всякого множества , является алгеброй, поскольку множество есть подмножество самого себя и операции объединения, пересечения и вычитания, выполненные над подмножествами данного множества снова приводят к его подмножествам.
Функция, множество определения которой есть система множеств, называют функцией множеств.
Определение(конечно-аддитивной вероятности). Пусть А- алгебра подмножеств конечного множества . Функция множеств , определенная на А, принимающая значения в , называется конечно-аддитивной, если для любых двух непересекающихся множеств и из А
(1)
В случае , конечно-аддитивная функция множеств называется конечно-аддитивной вероятностной мерой, конечно- аддитивной вероятностью или, коротко, вероятностью(но в случае конечного множества ).
Теперь мы в состоянии определить вероятностное пространство.
3. Основное определение
(Система аксиом Колмогорова вероятностного пространства в случае конечного множества ). Упорядоченный набор (тройка) объектов
,
где
10. - конечное множество произвольной природы;
20. А- алгебра всех подмножеств ;
30. -вероятность: заданная на А конечно-аддитивная неотрицательная функция множеств, такая, что ,
называется вероятностной моделью или вероятностным пространством. При этом называется пространством исходов или пространством элементарных событий, каждый элемент множества - элементарным событием, каждое множество из алгебры А- событием, а -вероятностью события .
Система аксиом I-III непротиворечива (существует хотя бы одна реализация).
Это показывает следующий пример: состоит из единственного элемента , А- из и пустого множества , при этом положено , .
Система аксиом I-III, однако, не является полной (можно ещё добавить аксиомы так, чтобы оставалась непротиворечивой): в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства, в их числе и с бесконечным .