- •1.Предмет теории вероятностей – анализ случайных явлений: отсутствие детерминистической регулярности и наличие статистической регулярности
- •2.Теория вероятностей как аксиоматизируемая математическая дисциплина
- •2. Эксперимент (опыт, испытание, явление)и его исход (результат, наблюдение)
- •3. Вспомогательная модель. Реализация этой идеи
- •4. Вероятностная модель
- •5. Вспомогательная и Вероятностная модели экспериментов. Однократное и двукратное подбрасывания монеты
- •7. Общая схема построения конечной вероятностной модели – вероятностного пространства
- •8. Произвели эксперимент, известен исход. Произошло ли событие?
- •9. Практическое значение вероятности события
- •11. Аксиомы а.Н. Колмогорова
- •1. Элементарная теория вероятностей
- •10. Необходимые в теории вероятностей сведения из теории множеств и теории меры
- •3. Основное определение
- •12. Непосредственные следствия из аксиом
- •13. Парадокс де Мере
- •14. Применения комбинаторного анализа в теории вероятности
- •2. Основное комбинаторное правило (частный случай)
- •3. Основное комбинаторное правило (общий случай)
- •15. Постановка комбинаторной задачи
- •16. Выборка с возвращением и без возвращения
- •17. Выборки неупорядоченные и упорядоченные
- •18. Упорядоченные выборки с возвращением
- •19. Упорядоченные выборки без возвращения-размещения
- •20. Перестановки
- •21. Неупорядоченные выборки из n элементов по k без возвращения – сочетания
- •24.Употребление термина «случайный» в теории вероятностей
21. Неупорядоченные выборки из n элементов по k без возвращения – сочетания
Итак, здесь решаем следующую комбинаторную задачу:
Даны натуральные числа n и k, причем . Сколько из генеральной совокупности объема n можно извлечь неупорядоченных выборок без возвращения объема k ?
Если обозначить искомое число через x, то имеет место равенство , поскольку все выборки объема k, отличающиеся друг от друга только порядком, принимаются за одну, а их число равно числу перестановок из k элементов, т.е. . Стало быть, , и потому:
Число неупорядоченных выборок из n элементов по k равно
Неупорядоченные выборки из п элементов по k называют сочетаниями из п по k, а их число, которое мы обозначили буквой х, обозначают или .
Таким образом, .
24.Употребление термина «случайный» в теории вероятностей
В предыдущем параграфе получена следующая
Теорема. Число различных выборок объема к из генеральной совокупности, содержащей n элементов, равно nk, если производится выбор с возвращением, и n(n-1)…(n-k+1) если производится выбор без возвращения.
Обычно всем различным выборкам приписывают равные вероятности и говорят при этом о случайных выборках. Термин «случайный», вообще говоря, не имеет строгого математического определения, но в тех случаях, когда он прилагается к выборкам или выбору, ему придается вполне определенный смысл, именно: в выражении «случайная выборка фиксированного объема r» прилагательное «случайная» означает, что все выборки имеют одинаковую вероятность (равную n-r в случае выбора с возвращением и 1/(n(n-1)…(n-k+1)), в случае выбора без возвращения, где через n обозначен объем генеральной совокупности, из которой производится выбор).
Таким образом, слово «случайная» («наугад», «наудачу») предполагают такое задание вероятности, при котором все элементарные события равновероятны: если пространство элементарных событий содержит N элементов, то вероятность каждого элементарного события равна 1N.
Вероятность выборки объема к с возвращением равна , без возвращения .