- •1.Предмет теории вероятностей – анализ случайных явлений: отсутствие детерминистической регулярности и наличие статистической регулярности
- •2.Теория вероятностей как аксиоматизируемая математическая дисциплина
- •2. Эксперимент (опыт, испытание, явление)и его исход (результат, наблюдение)
- •3. Вспомогательная модель. Реализация этой идеи
- •4. Вероятностная модель
- •5. Вспомогательная и Вероятностная модели экспериментов. Однократное и двукратное подбрасывания монеты
- •7. Общая схема построения конечной вероятностной модели – вероятностного пространства
- •8. Произвели эксперимент, известен исход. Произошло ли событие?
- •9. Практическое значение вероятности события
- •11. Аксиомы а.Н. Колмогорова
- •1. Элементарная теория вероятностей
- •10. Необходимые в теории вероятностей сведения из теории множеств и теории меры
- •3. Основное определение
- •12. Непосредственные следствия из аксиом
- •13. Парадокс де Мере
- •14. Применения комбинаторного анализа в теории вероятности
- •2. Основное комбинаторное правило (частный случай)
- •3. Основное комбинаторное правило (общий случай)
- •15. Постановка комбинаторной задачи
- •16. Выборка с возвращением и без возвращения
- •17. Выборки неупорядоченные и упорядоченные
- •18. Упорядоченные выборки с возвращением
- •19. Упорядоченные выборки без возвращения-размещения
- •20. Перестановки
- •21. Неупорядоченные выборки из n элементов по k без возвращения – сочетания
- •24.Употребление термина «случайный» в теории вероятностей
18. Упорядоченные выборки с возвращением
Имеется урна, в которой ровно n разных шаров. В силу возобновляемости урны, объем выборки k ничем не ограничен. Поэтому в качестве k берется натуральное число, без каких-либо ограничений.
Спрашивается, сколько будет всевозможных выборок объема k ? Чтобы получить ответ на поставленный вопрос, применим основное комбинаторное правило.
Выборку с возвращением объема k можем представить как процесс последовательного, одно за другим, в k действий, извлечения шаров из урны возобновляемого содержания из n шаров. В силу возобновляемости урны, каждое из k действий выполнимо n способами – по числу шаров в урне, и потому .
Тем самым, процесс извлечения шара выборки с номером a1 осуществляется n способами.
Процесс извлечения шара той же выборки с номером a2 осуществляется, в силу возобновляемости содержания урны, также n способами.
И, наконец, процесс извлечения последнего шара выборки с номером ak осуществляется n способами.
Тем самым, согласно основному комбинаторному правилу, всего выборок (a1,…ak) будет .
Сам процесс образования выборки показывает, что это выборки с возвращением, и, одновременно, выборки упорядоченные.
В итоге, доказано, что
Из генеральной совокупности объема n извлекаются nk всевозможных упорядоченных выборок с возвращением объема к.
19. Упорядоченные выборки без возвращения-размещения
Имеется урна, в которой ровно n разных шаров. Поскольку из невознобновляемой урны нельзя извлечь больше шаров, чем в ней содержится, то число извлекаемых шаров не больше n.
В составляемой комбинации шар можно выбрать n способами, после чего в урне осталось (n-1) шаров, поэтому второй шар можно выбрать (n-1) способами. Продолжая этот процесс, получаем, что на последнем k-ом шаге в урне останется n-(k-1)=n-k+1 шаров, поэтому, в
силу основного комбинаторного правила, число всевозможных комбинаций будет (n-0)(n-1)…(n-(k-1))=n(n-1)…(n-k+1).
Другими словами, отвлекаясь от вспомогательной урновой схемы, в общем случае получаем, что в выборке элемент
выбирается n-0=n способами,
выбирается (n-1) способами,
и, отсюда замечая, что при всех элемент выбирается n-(m-1) способами, в частности, заключаем, что последний элемент выборки
- выбирается n-(k-1)=n-k+1 способами,
поэтому всего способов будет .
Тем самым, нами решена следующая конкретизация общей комбинаторной задачи:
Даны натуральные числа n и k, причем . Сколько из генеральной совокупности (множества) объема n можно извлечь упорядоченных выборок без возвращения объема k?
Ответ: произведению из k множителей, каждое из которых есть разность между n и числами 0,1,…, k-1: .
Упорядоченные выборки без возвращения также называют размещениями. Число размещений из n элементов по k обозначают . Таким образом,
= n(n-1)…(n-k+1).
20. Перестановки
Размещения из п по п называют перестановками, поскольку все такие выборки состоят из п разных элементов и отличаются друг от друга только порядком элементов. Число перестановок из п элементов обозначают . Так как по определению = , то сначала вычислим . Это есть произведение последовательных натуральных чисел от при т. е. от 1 до п: Поэтому и =
Таким образом,
Для каждого натурального числа п число всевозможных перестановок генеральной совокупности объема п равно .