Правило Парето
Ранжирование рисков
Принцип Парето: формулировки и сомнения
В литературе по менеджменту (в основном - в популярной или посвященной time-менеджменту) обязательно упоминается так называемый принцип Парето или правило 80/20. Вот некоторые его формулировки:
20% клиентов (товаров) дают 80% оборота или прибыли;
20% ошибок обусловливают 80% потерь;
20% исходных продуктов определяют 80% стоимости готового изделия;
за 20% расходуемого времени достигается 80% результатов ([1], с.111)
80% ваших посетителей смотрит только 20% страниц вашего сайта ([8])
20% преступников виновны в 80% преступлений ([7])
Применение этого правила к управлению запасами носит название ABC-анализа (от деления запасов на 3 группы A, B и C, первая из которых находится на постоянном контроле, вторая - на системе периодического дозаказа, а третья планируется и закупается на год. Не путать с ABC - Activity Based Costing, функционально-стоимостным анализом - сокращения одинаковые, сущность разная). Данная система, пожалуй, наиболее разработанное применение правила 80/20 (см. пример в [2], с.177-179). Развернутая история и интерпретация этого принципа содержится в статье [7].
Первоначальная, историческая формулировка - 80% всех богатств принадлежит 20% населения. Именно она встречается в сочинениях Вильфредо Парето, который утверждал, что «способ распределения доходов, по существу, является одним и тем же в разных странах и в различные исторические эпохи» [3]. Согласитесь, это более сильное и более осмысленное утверждение, чем популярный принцип 80/20.
Настораживает и другой факт. Почему в книгах, являющихся энциклопедиями приемов менеджмента ([4], [5]), нет упоминания (во всяком случае, я не нашел) о принципе Парето или правиле 80/20. Чем-то он показался авторам сомнительным, если они решили не включать его в свои книги. В сети есть замечательная статья [6], посвященная анализу применения этого принципа. В ней обращается внимание на то, что в литературе отсутствует масса примеров успешного применения этого принципа. Что-то неладно с этим принципом.
Я намереваюсь показать, что правило 80/20 не укоренено в реальности и имеет чисто психологический характер. Для этого нам понадобятся логика и немного математики - в пределах школьного курса.
Математика и магия чисел
«20% товаров дают 80% прибыли» - очень яркая, запоминающаяся формулировка. 20% товаров дают 100%-20%=80% прибыли. Соответственно оставшиеся 100%-20%=80% товаров дают 100%-80%=20% прибыли. Замечательная кососимметричность! Именно она сделала этот принцип столь знаменитым.
Чтобы разобраться в природе принципа Парето, рассмотрим его математический смысл.
Математическая формулировка
Есть список объектов или видов объектов (товаров) T 1, T 2... T n и есть некоторый измеримый результат (прибыль), который является аддитивной функцией от объектов (общая прибыль является суммой прибылей от всех товаров), R(T 1,T 2...T n)=R(T 1)+R(T 2)+…R(T n). Так вот, принцип Парето гласит:
(1) Существует такое число 0< a<0,5, что объекты можно разбить на две группы M1 и M2 так, что численность группы M1 будет равна a*n, а результат R(M1)=(1- a)*R(M1,M2), т.е. 1- a от общего результата всех объектов,
(2) и при этом a=0,2 (20%).
В такой формулировке видно, что принцип Парето распадается на две части - наличие точки кососимметричности a (точки Парето), и утверждения о значении этой точки a=0,2. Докажем сначала первую часть - что точка Парето существует.
Рассмотрим гистограмму результатов по объектам, предварительно упорядочив по убыванию результата. А теперь построим гистограмму накопленного результата и приблизим ее непрерывным графиком.
В дальнейших рассуждениях мы будем рассматривать непрерывный график результата, т.е. считаем, что объектов у нас очень много (пример - население страны, несколько тысяч товаров супермаркета). Итак, y=f(x) - график результата, линия красного цвета. График построен в безразмерных единицах - 1 по оси абсцисс соответствует полная совокупность объектов, 100% от их количества; 1 по оси ординат соответствует суммарный результат от полного набора объектов. Где же должна лежать точка Парето? - На прямой y=1-x, именно это равенство выражает искомую кососимметричность, толстая прямая синего цвета.
Их пересечение дает искомую точку Парето, точку a, такую, что f( a)=1- a. График y=f(x) строго возрастает, более того - это выпуклая функция (вспоминаем, что объекты мы упорядочивали по убыванию результата, т.е. производная убывает). Отсюда следует, что график функции результата всегда лежит выше прямой y=x (зеленая прямая) и совпадает с ней в одном случае - когда все объекты имеют одинаковый результат, равномерное распределение. Тем самым мы доказали, что искомая точка Парето всегда существует, ее значение меньше 0,5 и равно ему в единственном случае - равномерного распределения результата по объектам.
Из этого графика видно, как мы можем итерационно продолжить Парето-анализ. Если мы рассмотрим ограничение функции на интервале (0, a), то можем построить точку Парето второго порядка (тот же красный график и тонкая синяя прямая; точка Парето-2 показана пунктиром). Аналогично можем поступить на интервале ( a, 1) и так далее.
Магия чисел
Итак, первая часть принципа Парето доказана. Она оказалась на удивление тривиальной - всего лишь иное выражение неравномерности распределения результата по объектам, а в практическом плане - сначала самое важное, потом остальное. Не грех лишний раз напомнить и в этом наибольшая польза этого принципа. Но, может быть, вторая его часть более содержательна? Может, действительно, практически у всех реальных распределений точка Парето равна 0,2? А вот тут мы вступаем в противоречие как с реальными данными, так и с логикой.
Для начала, с чего бы это существенно различным системам иметь какой-то общий для всех, прямо-таки волшебный параметр? Так ли это на самом деле? Обратимся к фактическим данным. На моем рисунке точка Парето примерно равна 0,3, т.е. правило должно бы звучать как 70/30. Но это - так, рисунок с выдуманными данными. А другие примеры? Если обратиться к примеру из книги [2], то числовые данные в приведенной на стр. 178 таблице дадут скорее 75/25, а соответствующий график на стр. 179 - 65/35. Но это - тоже учебные примеры. А вот реальные данные:
По утверждению Н. Харитонова, КПРФ, 13% населения России владеет 93% ее богатств [6]. Это скорее ближе к 90/10, чем к 80/20;
Р. Акофф в [12], с. 74 говорит: «Собирая данные для того, чтобы приступить к проблеме прогнозирования, автор обнаружил, что примерно на 10% видов продукции приходится 90% выручки и еще больший процент прибыли»;
Распределение спроса по наименованиям журналов: доля обращений в зависимости от процента количества журналов по разным электронным журналам дает значение точки Парето от 18 до 28% [13]. Кстати, это действительно достоверное исследование, с внятной методикой и инструментами;
В статье [11] исследовано применение принципа Парето к заработной плате и выведен несколько шутливый «принцип Парето по-русски» - его численное значение оказалось 86/14, т.е. значение точки Парето равно 0,14.
Как мы видим, значение точки Парето 0,2 - величина очень приблизительная. Казалось бы, велика ли разница между 80/20 и 90/10? - Огромна. Рассмотрим, во сколько раз объект из группы лидеров приносит результата больше, чем из группы аутсайдеров. Оказывается, в (1- a) 2/ a2 раз. Для 80/20 это 16, а для 90/10 - 81 раз. Для 70/30 это 70/30 это примерно 5,4 раза. Так что различия - существенные и нельзя говорить, что все эти ситуации описываются примерно одним законом.
Отсюда делаем вывод: 80/20 - это чистой воды магия цифр, к реальности не имеющая большого отношения.