1.3.3. Застосування теореми остроградського - гаусса

Теорема дає можливість визначити напруженість електричних полів навколо заряджених тіл з симетричним розподілом їх зарядів і діелектриків, що оточують їх. Розглянемо найтиповіші приклади.

Рис. 1.4. Визначення напруженості поля площини

1. Напруженість електричного поля рівномірно зарядженої нескін­ченної площини. Під рівномірно зарядженою розуміють площину з сталою поверхневою густиною заряду

. (1.11)

Щоб визначити напруженість електрич­ного поля в якійсь точці А (рис. 1.4), вибе­ремо симетричну їй точку В і побудуємо допоміжний циліндр abcd так, щоб його твір­на була паралельна лініям індукції, а основи S₁=S₂=S проходили через вибрані точки і були паралельні площині Р. Потік індукції через бічну поверхню циліндра дорівнює ну­лю, а через основи:

DS₁+DS₂=2DS. (1.12)

За теоремою Остроградського - Гаусса:

. (1.13)

Прирівнявши праві частини рівнянь (1.12) і (1.13), дістанемо:

. (1.14)

Оскільки , то у випадку однорідного середовища ( ):

. (1.15) Таке поле однорідне, симетричне, і його напруженість не залежить від положення точки (точку А взято довільно).

2. Напруженість електричного поля рівномірно зарядженої сферичної поверхні.

Рис. 1.5. Визначення напруженості поля сфери

Нехай сферична поверх­ня, радіус якої R, заряджена рівномірно ( ). Тоді електричне поле буде си­метричним відносно центра, а вектори ін­дукції будуть напрямлені радіально від поверхні, якщо , і до поверхні, якщо (рис. 1.5). Вектор зовнішньої нормалі також радіальний, тому .

Визначимо напруженість електричного поля в точці А на відстані r > R від центра сфери. Для цього проведемо через точку А допоміжну концентричну сферу радіусом r. Для всіх точок цієї сфери . Потік індукції через допоміжну поверхню .буде:

. (1.16)

За теоремою Остроградського—Гаусса цей потік визначають так:

, (1.17)

де q - повний заряд сфери. З рівнянь (1.16) і (1.17) дістаємо:

, (1.18)

Як бачимо, електричне поле поза рівномірно зарядженою сферою таке саме (еквівалентне), як і поле точкового зарядженого тіла, коли його заряд дорівнює всьому зарядові сфери.

1.4. ПОТЕНЦІАЛ. РОБОТА ПОЛЯ. НАПРУГА

План лекції

1.4.1. Робота сил електричного поля. Потенціальний характер електричного поля

1.4.2. Потенціал електричного поля

1.4.3. Різниця потенціалів (напруга). Еквіпотенціальні поверхні

1.4.1. РОБОТА СИЛ ЕЛЕКТРИЧНОГО ПОЛЯ. ПОТЕНЦІАЛЬНИЙ ХАРАКТЕР ЕЛЕКТРИЧНОГО ПОЛЯ

Відомо, що на точкове заряджене тіло з зарядом q₀, внесене в електричне поле, діятиме сила F=Eq₀. Під дією цієї сили тіло може переміщуватися і тоді над ним виконуватиметься робота. Якщо поле неоднорідне, то діюча сила змінюватиметься, бо вектор напруженості в різних точках поля має різні напрям і величину. Тому на елементарному переміщенні зарядженого тіла dl роботу знайдемо за виразом

dA = Fdl = q₀Edl q₀ E_l, dl, (1.19)

де Е_l - складова вектора напруженості в напрямі переміщення. Якщо тіло переміщується з якоїсь точки поля 1 в довільну точку 2, то робота визначиться сумою елементарних робіт, тобто інтегралом

(1.20)

Рис. 1.6. Визначення роботи сил електричного поля

Для прикладу визначимо роботу сил електричного поля, пов'язаного з точковим позитивно зарядженим тілом. З рис. 1.6 видно, що:

dl dr.

Напруженість розглядуваного поля має значення :

,

тому за виразом (1.20) дістанемо

, (1.21)

де r₁ і r_{2 -} відстані точок 1 і 2 від нерухомого зарядженого тіла.

З виразу (1.21) випливає, що при різних переміщеннях точкового зарядженого тіла робота сил електричного поля не залежить від форми шляху руху точки, а залежить лише від початкового і кінцевого її положень, діелектричних властивостей середовища і заряду точки. Цей висновок відповідно до принципу суперпозиції поширюється на електричне поле, пов'язане з будь-якою системою заряджених тіл.

Поля, робота в яких не залежить від форми шляху, називаються потенціальними. Отже електростатичне поле потенціальне.