Рабочие тетради №2-9 / Рабочая тетрадь _5

5

43

Момент распределения k-го порядка – средняя величина отклонений k-й степени от некоторой постоянной величины А:

. (5.31)

Если А – произвольное число, то моменты условные.

Если А = 0, то моменты начальные;

_(5.32)

m₀ = 1; m₁ – средняя арифметическая ().

Если А = , то моменты центральные;

_(5.33)

= 1; = 0; – дисперсия (s²).

Нормированные моменты:

(5.34)

μ₀=1; μ₁=0; μ₂=1.

Для центральных моментов можно вывести зависимости от начальных моментов:

П

44

Нормированный момент третьего порядка является показателем асимметрии распределения As:

. (5.35)

Рис. 5.2. Асимметрия распределения

С

45

, (5.36)

_{Если , то асимметрия существенна.}

В качестве показателя асимметрии применяется и коэффициент асимметрии Пирсона (As):

. (5.37)

Если As= 0, (т.е. ), то распределение симметричное (нормальное).

Если As < 0, то имеет место левосторонняя асимметрия.

Если As > 0,то имеет место правосторонняя асимметрия.

46

Нормированный момент четвертого порядка характеризует крутизну (заостренность) графика распределения:

. (5.38)

Показатель эксцесса рассчитывается:

. (5.39)

Если Ex = 0, то распределение симметрично;

Ex > 0, то распределение островершинное;

Ex < 0, то распределение плосковершинное (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Эксцесс распределения

Степень существенности эксцесса характеризуется средней квадратической ошибкой:

. (5.40)

Пример 5.4. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.

По данным примера 5.1 рассчитать показатели асимметрии и эксцесса.

5

47

Распределение непрерывной случайной величины x называют нормальным, если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой

,

или , (5.41)

где x – значение изучаемого признака;

– средняя арифметическая ряда;

s² – дисперсия значений изучаемого признака;

s – среднее квадратическое отклонение изучаемого признака;

π = 3,1415926; е = 2,7182;

– нормированное отклонение.

48

Рис. 5.4. Кривые нормального распределения

49

Порядок расчета теоретических частот кривой нормального распределения:

1. по эмпирическим данным рассчитывают среднюю арифметическую ряда и среднее квадратическое отклонение s;

2. находят нормированное отклонение каждого варианта от средней арифметической ;

3. по таблице распределения функции j(t) определяют ее значения;

4. вычисляют теоретические частоты по формуле

=, (5.42)

где N – объем совокупности; h_i – длина интервала.

Для вариационного ряда с равными интервалами:

П

50

Рассчитать теоретические частоты ряда распределения на основании данных о прибыли предприятий города, представленных в табл. 5.6.

Таблица 5.6

= 1,99 млн.руб. = 0,2406 млн.руб.

Анализируемый вариационный ряд имеет равные интервалы, следовательно:

= 83,12.

Последовательно умножив const на величину j(t) для каждого варианта, получим теоретические частоты (гр. 8 табл. 5.6).

Сравним на графике эмпирические f_i и теоретические частоты (рис. 5.5).

51

5

52

При проверке статистических гипотез часто используют следующие характеристики: уровень значимости a и число степеней свободы v.

Уровень значимости a – вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях пользуются тремя уровнями значимости: a = 0,10; a = 0,05; a = 0,01.

Число степеней свободы v определяется как число групп в ряду распределения m минус число связей k:

v = m – k.

В случае выравнивания по кривой нормального распределения имеется три связи:

^э = ^т, s^э = s^т, f_i = S.

При выравнивании по кривой нормального распределения v = m – 3.

К

53

или

(5.43)

,

где m – число групп в эмпирическом распределении;

f_i , w_i – наблюдаемые частота и частость признака в i-й группе;

, – теоретические частота и частость, рассчитанные по предполагаемому распределению.

Для оценки существенности расчетное значение c²_расч сравнивается с табличным c²_т.

К

54

. (5.44)

Если c ≤ 3, то расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами случайны.

Критерий Колмогорова λ :

, (5.45)

где D – максимальная (по модулю) разность между накопленными частотами эмпирического и теоретического распределений ().

Рассчитав значение λ, по таблице P(λ) определяют вероятность, с которой можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны.

П

55

Таблица 5.7

Критерий Пирсона:

c²_расч = 3,90.

При α=0,05 и v = 3 табличное значение критерия c²_т = 7,81.

c²_расч ≤ c²_т.

Критерий Романовского:

= 0,367 < 3 – гипотеза не отвергается

Критерий Колмогорова: