3.4. Напряженное и деформированное состояние при растяжении и сжатии

Рассмотрим более подробно особенности напряженного состояния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим напряжения, возникающие на некоторой наклонной площадке, составляющей угол  с плоскостью нормального сечения (рис. 3.6, а).

Рис. 3.6

Из условия z = 0, записанного для отсеченной части стержня (рис. 3.6, б), получим:

рF_ = F, (3.8)

где F  площадь поперечного сечения стержня, F_ = F/cos   площадь наклонного сечения. Из (3.8) легко установить:

р = сos . (3.9)

Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к наклонной площадке (рис. 3.6, в), с учетом (3.9) получим:

_ = pcos  = cos²; _ = psin  = sin 2  . (3.10)

Полученные выражения показывают, что для одной и той же точки тела величины напряжений, возникающих в сечениях, проходящих через эту точку, зависят от ориентации этой площадки, т.е. от угла . При  = 0 из (3.10) следует, что _ = , _ = 0. При  = , т.е. на продольных площадках, _ = _ = 0. Это означает, что продольные слои растянутого стержня не взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения _принимают наибольшие значения при  = , и их величина составляет _max= . Важно отметить, как это следует из (3.10), что . Следовательно, в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны между собой по абсолютной величине. Это условие является общей закономерностью любого напряженного состояния и носит название закона парности касательных напряжений.

Теперь перейдем к анализу деформаций в растянутом стержне. Наблюдения показывают, что его удлинение в продольном направлении сопровождается пропорциональным уменьшением поперечных размеров стержня (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Если обозначить:

_прод = ; _попер =  ,  =  , (3.11)

то, как показывают эксперименты,  = const для данного материала и является безразмерным коэффициентом Пуассона. Величина  является важной характеристикой материала и определяется экспериментально. Для реальных материалов  принимает значения 0,1  0,45.

При растяжении стержня возникают не только линейные, но и угловые деформации.

Рассмотрим прямой угол АВС (рис. 3.8, а), образованный отрезками АВ и АС, в недеформированном состоянии.

Рис. 3.8

При растяжении стержня точки А, В и С займут положение А , B , C  соответственно. Величина

_ = ВАС  А B C 

называется угловой деформацией или угловым сдвигом в точке А.

Совместим точки А и А  и рассмотрим взаимное расположение отрезков АВ и А B  (рис. 3.8, б). На этом рисунке отметим вспомогательные точки K и L и прямую n, перпендикулярную отрезку А B . Из рис. 3.8, б имеем:

_прод = ; _попер = ,

откуда с учетом _прод = получим:

. (3.12)

Для определения _ спроектируем ломаную ВLB А  на ось n Ssin _ = BL cos ( + _) + LB sin( + _), откуда, учитывая малость угла _ , т.е. sin _  _ , cos _  1, получим: