Федеральное агентство по образованию

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «мифи»

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

Методические указания к выполнению идз по теме «Дифференциальные уравнения»

1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

1.1. Основные понятия.

Дифференциальным уравнением (д.у.) первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функциюи ее производную, т.е. уравнение вида

.

Уравнение вида

, (1.1)

где функция непрерывна в некоторой областиD изменения своих аргументов, называется д.у. первого порядка, разрешенным относительно производной .

Решением уравнения (1.1) на интервале называется функция, удовлетворяющая условиям:

1) имеет производную на;

2) при;

3) обращает (1.1) в тождество:при.

Задачей Коши для уравнения (1.1) называется задача нахождения решения уравнения (1.1), удовлетворяющего начальному условию

,

где точка .

Геометрически это означает, что через каждую точку проходит только одна интегральная кривая (график решенияуравнения (1.1)).

Пример 1. Решить уравнение и построить семейство интегральных кривых.

Решение. Перепишем уравнение в виде . Его решениепредставляет собой семейство гипербол. Приимеем еще две интегральные кривые, которые проходят через точку. Эти решения называются особыми.

Ответ: ,.

1.2. Уравнения с разделяющимися переменными.

Д.у. первого порядка

(1.2)

называется уравнением с разделяющимися переменными, если ив (1.2) можно записать в виде произведения двух множителей, каждый из которых является функцией одного аргумента. То есть

(1.3)

Делением на (1.3) приводится к виду

.

Интегрируя, получим общее решение д.у. в

Замечание: Если в уравнении (1.3) функция имеет действительный корень, тоявляется решением д.у.

Пример 2. Решить задачу Коши:

Решение: Полагая и выносяза скобки, получим

.

Разделив переменные и интегрируя, находим общий интеграл

, ,.

Используя начальное условие , получим

или

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

.

Ответ: .

1.3. Однородные уравнения.

Д.у. первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду

(1.4)

или

, (1.5)

где и- однородные функции одного измерения, т.е. существует такое, чтои,.

Уравнения (1.4) и (1.5.) с помощью подстановки , где- новая неизвестная функция, приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Задача 3. Решить д.у. .

Решение: Разделим обе части этого уравнения на :

,

получим уравнение вида (1.4), где

.

Сделаем замену ,,, тогда

.

Разделим переменные и интегрируя, будем иметь

, ,

или .

Подставляя , получим общее решение исходного д.у.:

, .

Ответ: .

1.4. Линейные дифференциальные уравнения.

Д.у. первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

(1.6)

Если , то уравнение называется линейным однородным.

Решить линейное уравнение (1.6) можно методом Бернулли. Согласно этому методу решение уравнения (1.6) ищется в виде , где– некоторые неизвестные функции. Тогда. Подставляя эти выражения в уравнение (1.6) и группируя слагаемые, содержащие(или), получим

,

. (1.7)

Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций (например, ) может быть выбрана произвольно (), поскольку лишь произведениедолжно удовлетворять уравнению (1.6), функциявыбирается так, чтобы она обращала в нуль коэффициент прив левой части уравнения (1.7), т.е.

(1.8)

Это уравнение с разделяющимися переменными относительно функции . Проинтегрировав его

,

получим .

За принимаем любое отличное от нуля частное решение уравнения (1.8):.

Поставляя найденную функцию в левую часть (1.7), получим уравнение с разделяющимися переменными относительно:

.

Решив его, найдем

Перемножая функции и, будем иметь

.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение: Согласно методу Бернулли ,. Подставим эти выражения в исходное уравнение

.

Сгруппируем члены, содержащие :

. (1.9)

Функцию найдем из уравнения

или ,

Разделяя переменные и интегрируя, имеем

, или.

Подставим найденное в уравнение (1.9):

или .

Откуда

Перемножая и, получим общее решение

.

Ответ: