1 Механика 3 Динамика вращательного движения

Момент силы относительно произвольной точки О называют вектор , определяемый формулой

, где – вектор, проведённый из точки О в точку приложения силы.

Плечо силы – длина перпендикуляра, опущенного из начала вектора на линию действия силы.

Момент импульса материальной точки относительно произвольной точки О называют вектор , определяемый формулой

,

где – радиус-вектор материальной точки.

Момент импульса материального тела

.

Главный момент системы внешних сил, действующих на материальное тело

.

Теорема об изменении момента импульса твёрдого тела относительно неподвижной оси

,

где – момент силы, – момент импульса.

Связь момента импульса и угловой скорости абсолютно твёрдого тела

.

Моменты инерции однородных сплошных тел:

момент инерции однородного сплошного тонкостенного цилиндра (цилиндрической поверхности) массой m и радиусом R относительно его оси симметрии ;

момент инерции сплошного однородного сплошного цилиндра массой m и радиусом R относительно его оси симметрии ;

момент инерции тонкого однородного сплошного стержня массой m и длиной ℓ относительно оси проходящей через его конец перпендикулярно оси стержня ;

момент инерции тонкого однородного сплошного стержня массой m и длиной ℓ относительно оси проходящей через его центр масс перпендикулярно оси стержня ;

момента инерции однородного сплошного шара массой m и радиусом R относительно оси, проходящей через его центр .

Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями

.

Работа внешних сил при вращении твёрдого тела:

,

если , то: . Здесь M_z – проекция момента внешних сил на ось 0Z, совпадающую с осью вращения (φ₂ – φ₁) – угол поворота.

Основное уравнение динамики вращательного движения:

или , или .

1 Механика 4 Работа и энергия

Элементарной работой силы называют скалярное произведение силы на бесконечно малое перемещение материальной точки:

.

Работа на конечном участке

.

Если сила постоянная , то

.

Мощность. Скалярную величину, которая определяет работу силы в единицу времени, называют мощностью: .

Работа силы тяжести

.

Работа силы упругости

.

Работа силы трения

.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки: изменение кинетической энергии материальной точки равно работе силы, действующей на материальную точку

.

Кинетическая энергия твёрдого тела при произвольном движении равна сумме кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс

.

1 Механика 5 Законы сохранения в механике

Теорема об изменении и закон сохранения импульса материальной точки:

дифференциальная форма теоремы об изменении импульса материальной точки: дифференциал импульса материальной точки равен элементарному импульсу силы, приложенной к ней

;

интегральная формулировка теоремы об изменения импульса материальной точки

.

Закон сохранения импульса материальной точки: если равнодействующая сил, приложенных к материальной точке равна нулю, то импульс материальной точки остаётся постоянным если =0, то .

Момент импульса материальной точки:

.

Теорема об изменении момента импульса материальной точки в дифференциальной форме: производная по времени от момента импульса материальной точки равна сумме моментов сил, действующих на материальную точку .

Теорема об изменении момента импульса материальной точки в интегральной форме: .

Закон сохранения момента импульса материальной точки:

если момент сил, действующих на материальную точку равен нулю , то момент импульса материальной точки сохраняется .

Сумму кинетической и потенциальной энергий материальной точки называют полной механической энергией материальной точки.

Закон сохранения полной механической энергии: полная механическая энергия материальной точки сохраняется, если на материальную точку действуют консервативные силы

.

Радиус-вектор центра масс:

для системы материальных точек ;

для материального тела ;

для системы материальных тел .

Координаты центра масс:

для системы материальных точек ;

для материального тела ;

для системы материальных тел .

Скорость и ускорение центра масс: ,

для системы материальных точек , ;

для материального тела , ;

для системы материальных тел , .

Проекции скорости и ускорения центра масс:

;

;

для системы материальных точек ;

;

для материального тела

; ;

для системы материальных тел

;

.

Теорема об изменении импульса механической системы в дифференциальной форме: первая производная по времени от импульса механической системы равна главному вектору внешних сил , где:

для системы материальных точек – импульс системы материальных точек; – главный вектор внешних сил системы материальных точек;

для материального тела – импульс материального тела; – главный вектор внешних сил материального тела;

для системы материальных тел – импульс материального тела; – главный вектор внешних сил материального тела.

Закон сохранения импульса механической системы: если механическая система является замкнутой ( ), то её импульс сохраняется ( ).

Закон сохранения импульса в случае абсолютно упругого столкновения двух тел: , где – скорости тел 1 и 2 до и после соударений соответственно.

При неупругом ударе, когда тела слипаются после соударения, их общая скорость становится равной .

Теорема об изменении момента импульса (кинетического момента) механической системы тел: .

8