Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
97
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
397.31 Кб
Скачать

Таблица 1.1

Название,

автор

Критерий прочн.

Эквивалентное

напряжение

Область примен.

Гипотеза наибольших нормальных напряжений, Галилей, XVII в.

max

Не рекомеду-ется

Гипотеза наибольших линейных деформаций Мариотт, 1682 г.

max

Гипотеза наибольших касательных напряжений, Кулон, 1773 г.

max

Для пластичных матриалов, у которых

тр = тс

Гипотеза энергии формоизменения, Губер, 1904 г.

uф

Гипотеза О.Мора, Мор, 1882 г.

n=f(n)

Для пластичных и хрупких материалов

После определения эквивалентного напряжения условие прочности представляется в виде одного из следующих неравенств:

экв  р  пред.р/П (1.27)

или П = пред.р/экв  П, (1.28)

где пред.р – предельное напряжение материала на растяжение, равное пределу текучести тр для пластичных материалов или пределу прочности пчр для хрупких материалов; П и [П] – фактический и нормативный коэффициенты запаса прочности.

Пример 1.10. Проверить прочность конструкции, если в опасной точке имеет место указанное на рисунке напряженное состояние. Дано:

Рис. 1.18

пчр = 150 МПа, пчс = 600 МПа, [П] = 5.

Решение

1. Определение главных напряжений. Напряженное состояние в точке является плоским, поэтому

,

откуда max = 10 МПа, min = -60 МПа. Следовательно, величины главных напряжений равны 1 = 10 МПа, 2 = 0, 3 = -60 МПа.

2. Проверка прочности конструкции. Здесь возможны два подхода

экв  р  пчр/П

или П = пчр/экв  П.

Эквивалентное напряжение вычисляем по гипотезе О.Мора, так как материал хрупкий и неодинаково работает на растяжение и сжатие:

МПа.

Допускаемое напряжение [р] = пчр/[П] = 150/5 = 30 МПа.

Следуя первому подходу, сравниваем и [р]. Так как = 25 МПа  [р] = 30 МПа, то прочность конструкции обеспечена.

Согласно второму подходу находим фактический коэффициент запаса прочности П = пчр/ = 150/25 = 6.

Как видим, П = 6  [П] = 5, т.е. прочность конструкции обеспечена.

Пример 1.11. Какое из трех приведенных напряженных состояний является более опасным? Дано: тр = тс.

Рис. 1.19

Решение. Для сравнения напряженных состояний находим эквивалентные напряжения. Материал является пластичным и одинаково работает на растяжение и сжатие, поэтому воспользуемся 3-й гипотезой прочности.

Точка 1. Напряженное состояние является объемным, причем одно из главных напряжений уже известно. Для определения двух других главных напряжений воспользуемся формулами для плоского напряженного состояния. Имеем

max = 20 МПа, min = -30 МПа.

Следовательно, 1 = 20 МПа, 2 = -30 МПа, 3 = -60 МПа.

Эквивалентное напряжение

.

Точка 2. Напряженное состояние является чистым сдвигом, поэтому 1 =  = 35 МПа, 2 = 0, 3 = - = -35 МПа.

Эквивалентное напряжение

.

Точка 3. Напряженное состояние является линейным (одноосное сжатие), поэтому 1 = 2 = 0, 3 = -75 МПа.

Эквивалентное напряжение

.

Так как , то наиболее опасным является напряженное состояние в точке 1.

2. КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ ВАЛОВ

2.1. Краткие сведения из теории

Кручением называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент, обозначаемый МК или МZ.

Теория кручения круглых валов основана на 2-х гипотезах.

1. В поперечных сечениях возникают только касательные напряжения.

2. Поперечные сечения поворачиваются без искривления радиусов, оставаясь плоскими.

Рис. 2.1

Согласно 1-й гипотезе бесконечно малый элемент mnpq испытывает чистый сдвиг, поэтому   G. (a)

С другой стороны, из чертежа (рис. 4.1,б)

dz = d, откуда  = d/dz = , (б)

где  = d/dz – относительный угол закручивания.

Следовательно,  = G. (в)

Рис. 2.2

По определению крутящего момента

или с учетом (в) , (г)

где - полярный момент инерции.

Вычисляя из (г)  и подставляя его в (в), получим закон распределения касательных напряжений в поперечном сечении (рис. 2.3)   (МК/Ip) (2.1)

Рис. 2.3

Отсюда max = (MK/Ip)max = MK/Wp, (2.2)

где Wp = Ip/max – полярный момент сопротивления.

Геометрические характеристики:

dA = 2d,

- полый вал ,

(2.3)

Рис. 2.4

- тонкостенная труба (tdн, 0,9)

, ;

- сплошной вал (dв = 0, dн = d)

(2.4)

Угол закручивания:

- относительный  = d/dz = MK/(GIp), (2.5)

- абсолютный , (2.6)

в частности, при МК = const . (2.7)

Расчет валов сводится к одновременному удовлетворению двух условий:

- условия прочности max  ,

, откуда ; (2.8)

- условия жесткости max  ,

, откуда . (2.9)

Окончательно принимается большее из найденных значений

d = maxdпч, dж.

Допускаемые величины:

  • касательное напряжение

  • относительный угол закручивания

[] = 4,38…17,5 мрад/м (0,25…1,0 град/м).

Рис. 2.5

Главные напряжения:

1 = + , 2 = 0, 3 = - ,

1,3 =  45.

Потенциальная энергия упругой деформации

. (2.10)

Зависимость скручивающего момента от мощности. Обычно нагрузка на вал определяется мощностью машины. Если мощность Р задана в Вт, а угловая скорость  в рад/с, то М = Р/ Нм.

Если мощность N выражена в лошадиных силах (л.с.), а угловая скорость П в об/мин, тогда М = 7162N/П Нм.

2.2. Примеры расчета

Пример 2.1. Построить эпюры крутящего момента МК и угла закручивания  для вала, приведенного на рис. 2.6, считая левый конец неподвижным.

Решение

Эпюра МК. На вал не действует распределенная нагрузка (m = 0), поэтому эпюра МК состоит из отрезков прямых, параллельных оси абсцисс. В сечениях, где к валу приложены сосредоточенные скручивающие пары, на эпюре МК наблюда-

Рис. 2.6

ются скачки, равные приложенным моментам. Вычисляем моменты по участкам МDE = М, МCD = МDE –3М = = -2М, MBC = MCD + 4M = 2M, MAB = MBC –3M = -M и строим эпюру МК (рис. 2.6,б).

Эпюра . Угол закручивания изменяется по линейному закону  = 0 + МKz/(GIp), поэтому для построения эпюры  вычисляем углы поворота на границах участков, начиная от неподвижного сечения А: А = 0,

В = А + МАВQ/(GIp) = -Ma/(GIp),

C = B + МBCQ/GIp = Ma/(GIp),

D = C + МCD2a/(GIp) = -3Ma/(GIp),

E = D + МDEQ/(GIp) = = -2Ma/GIp,

и соединяем их отрезками прямых (см. рис. 2.6).

Пример 2.2. Определить величины и указать направления касательных напряжений, возникающих в точках А, В, С.

Дано: xA = 3 см, yA = 4 см,

xB = -1,5 см, yB = 2 см, xC = 0,

yC = -10 см.

Рис. 2.7

Решение. Напряжение в произвольной точке равно  = (MK/Ip).

Для точки А: ,

, Ip  0,1d4 = 0,1204 = 16000 см4,

A = (MK/Ip)A = (64103/1610310-8)510-2 = 20 МПа.

Для остальных точек студенту предлагается определить самостоятельно.

78

Соседние файлы в папке Rucov2