Рис. 25

Пример 17. Определить главные напряжения в точке К консольной балки (рис. 26), нагруженной сосредоточенной силой F = 50 кН, приложенной на свободном конце, если l = 50 см, С = 20, d = 4 см, b = 4 см, h = 10 см.

Решение. 1. Определение внутренних силовых факторов в поперечном сечении, проходящем через точку К. Строим эпюры Q_y и M_x и находим Q_K = -F = -50 кН,

M_K = -FC = -50  20  10^-2 = -10кНм.

Рис. 26

2. Определение главных напряжений. Напряжения в поперечном сечении определяются по формулам , . Вычисляя , , ,

, находим

,

.

Величины главных напряжений

;

; ; .

Направление главного растягивающего напряжения ₁ по отношению к продольной оси балки z:

; ,

а напряжение ₃ направлено перпендикулярно к ₁.

Графическое определение величин главных напряжений и направлений главных осей представлено на рис. 27.

Рис. 27

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И РАСЧЕТ НА ЖЕСТКОСТЬ

3.1. Основные понятия

Рис.28

При изгибе произвольное сечение K балки (рис. 28) получает три перемещения: вертикальный прогиб V, горизонтальное смещение W, угол поворота . Ось деформированной балки называется упругой

линией. В реальных конструкциях WV, V_max  l/200, _max  1 (0,0174 рад), поэтому в расчетах можно пренебречь смещением W, а для углов поворота использовать приближенную формулу   tg = dv/dz. Таким образом, для определения линейных и угловых перемещений сечений балки необходимо знать уравнение упругой линии V(z).

Кривизна оси балки связана с изгибающим моментом выражением K = 1/ = M_x/(EI_x).

Из курса математики известна следующая формула для кривизны линии: ,

где , .

Подставляя это значение К в предыдущее выражение, получим точное дифференциальное уравнение упругой линии балки:

. (10)

Пренебрегая по сравнению с единицей, заменяем его приближенным уравнением

(11)

которое называют основным дифференциальным уравнением упругой линии балки.

Выбор знака определяется принятой системой координат (рис. 29). Если ось y направлена вверх, то знаки момента М_х и кривизны совпадают, поэтому в уравнении (11) берется знак “плюс”. При обратном направлении оси y знаки М_х и противоположны, следовательно, в этом случае следует использовать уравнение вида , которое и рассматривается в дальнейшем.

Рис. 29

3.2. Метод начальных параметров

Последовательно интегрируя уравнение (11), получим сначала выражение для углов поворота

(а)

а затем для прогибов

. (б)

Для вычисления интегралов, входящих в формулы (а) и (б), запишем выражение изгибающего момента М_х(z) от типичных нагрузок (рис. 30):

.

Рис. 30

Рис. 31

Подставляя М_х в формулы (а) и (б) и учитывая, что в общем случае на балку действует несколько моментов, сосредоточенных сил и погонных нагрузок, после интегрирования получим окончательно

,

(12)

(13)

Здесь _о и V_o – угол поворота и прогиб в начале координат, называемые начальными параметрами и определяемые из условий опирания балки (рис. 31). Значок “Л” над символом суммы обозначает, что суммируются только те величины, которые относятся к части балки, расположенной слева от того сечения, где ищутся перемещения. Все нагрузки, приведенные на рис. 30, считаются положительными.

Пример 18 Элемент машины представляет собой балку пролетом 3a, опирающуюся на шарнирно подвижную опору, а с другой – на вертикальные направ-

Рис. 32

ляющие, вдоль которых свободно (без трения) скользит ползун, жесткосвязанный с балкой. Определить прогибы в точках А и С и угол поворота на опоре В.

Решение. 1. Определение опорных реакций. Составляем уравнения равновесия и находим искомые реакции:

, , , , .

2. Определение начальных параметров. Из условий опирания балки имеем _А = 0 и V_В = 0. Из первого получаем _о = 0, а из второго находим V_о:

, .

3. Определение искомых перемещений. Имеем

; ,

.

Пример 19. Определить углы поворота опорных сечений и прогибы на конце консоли и в середине пролета. Построить пунктиром вид изогнутой оси балки (рис. 33).

Решение. 1. Определение опорных реакций. Из уравнений равновесия имеем

, , ,

, , .

Рис. 33

2. Определение начальных параметров. Из условий опирания балки VA = VB = 0 или в развернутом виде ,

Таким образом, получаем систему

откуда , .

3. Определение искомых перемещений. Угол поворота на опоре А .

Угол поворота на опоре В

Прогиб посредине пролета (сеч. С)

Примерный вид упругой линии балки показан на рис. 33 пунктиром.

126