Рис. 13

Пример 10 Тонкая стальная полоса, имеющая поперечное сечение размером 0,8х25 мм и длину l = 25 см, изгибается сосредоточенными моментами, приложенными на концах, в дугу

окружности, опирающуюся на угол , равный 1 радиану. Чему равно максимальное напряжение в полосе?

Решение. Изгибающий момент связан с кривизной соотношением I/ = M_x/EI_x, откуда M_x = EI_x/.

Максимальное напряжение _max = M_x/W_x = EI_x/(W_x)

или, учитывая, что l =  и  = l/, I_x/W_x = y_max = h/2,

получим _max = Eh/(2l) = 20010⁹0,8/(2250) = 320 МПа.

Пример 11. Шарнирно опертая по концам стальная балка с поперечным сечением из двух швеллеров № 20а нагружена, как показано на рис. 14. Определить величину допускаемой нагрузки q, если а = 1 м, [] = 150 МПа.

Решение Построение эпюр Q и М. Опорные реакции: mB = 0, RA6a = = q4a4a + 2qa2 - 2qa2a- - q2aa = 0, RA = 2qa;

Рис. 14

m_A = 0, R_B6a = q2a5a + 2qa²-q4a2a + 2qa4a = 0, R_B = 2qa.

Проверка:

Y_i = 0, -R_A+ q4a-2qa-q2a+R_B = -2qa+4qa-2qa-2qa+2qa = 0.

Эпюры Q и М строим по характерным точкам.

Расчетный изгибающий момент М_max = 2qa².

2. Определение допускаемой нагрузки. Геометрические характеристики сечения. Из таблиц сортамента согласно ГОСТ 8240-72 имеем для швеллера № 20а:

Рис. 15

I_ = I_y = 139 cм⁴; А = 25,2 см²; z_o = 2,28 cм; b = 8 см.

По формуле параллельного переноса осей момент инерции сечения относительно центральной оси х равен I_x = 2[I_ + (b - z_o)²A], откуда момент сопротивления

W_x = I_x/y_max = 2[I_ +(b-z_o)²A]/b = 2[139+(8-2,28)²25,2]/8 = 241 см³.

Из условия прочности балки М_max/W_x = 2qa²/W_x  [],

oткуда [q] = []W_x /2a² = 15010⁶24110^-6/(21²) = 18 кН/м.

Пример 12 Подобрать необходимые размеры поперечного сечения балки, составленной из двух скрепленных бревен, если q = 26 кН/м, [] = 10 МПа, Q = 1 м.

Рис. 16

Решение

1. Построение эпюр Q и М.

Опорные реакции:

m_B = 0, R_A4a = 0,5qа² + 2qa2a - qa0,5a, R_A = qa;

m_A = 0, R_B4a = qa4,5a + 2qa2а - 0,5qа², R_B = 2qa.

Проверка:

Y_i = 0, R_A + R_B - 2qa - qa = qa + 2qa - 2qa - qa = 0.

Строим эпюры q и М и находим расчетный изгибающий момент, равный М_max = 1,5 qa².

2. Подбор сечения балки. Геометрические характеристики. Сечение балки является составным, поэтому Ix = 2(I+y2A) = 2[d4/64+(d/2)2d2/4] = (5/32)d4, Wx = Ix/ymax = Ix/d = (5/32)d3. Из условия прочности балки Mmax/Wx  ; 1,5qa2/(5d3/32)  .

Рис. 17

Отсюда .

Пример 13. Тензометр Т, установленный на стальной балке, имеет коэффициент увеличения k = 1000 и базу s = 20 мм. Показание тензометра равно n = 5 мм. Определить наибольшее нормальное напряжение в балке.

Рис. 18

Решение Напряжение в балке на уровне тензометра Т равно, с одной стороны, Т = ЕТ = Еn/(ks), (a) C другой стороны, Т = (MT/Ix) yT. (б) Наибольшие нормальные напряжения возни-

кают в крайних волокнах того же сечения, где приложена сила F, т.е.

_max = (M_max/I_x) y_max. (в)

Разделив (в) на (б), получим _max = _Т (M_max/М_Т)(y_max/y_Т) = 4_Т или с учетом (а)

_max = 4Еn/(ks) = 420010⁹5/(100020) = 200 МПа.

Пример 14 Тележка перемещается вдоль балки длиной l = 10 м. На каждое колесо действует нагрузка F = 20 кН. Найти опасное положение тележки, при котором изгибающий момент будет иметь наи-

Рис. 19

большее значение и определить наибольшее напряжение, полагая С = 2 м.

Решение

Очевидно, наибольший изгибающий момент возникает в сечении, расположенном под передним колесом тележки (сеч. D), где

M_D = R_B(l – z - C) = F(2z + C)(l – z - C)/l, R_B = F(2z + C)/l.

Из условия экстремума dM_D/dz = 0 находим опасное положение тележки ,

z⁴ = (2l-3c)/4.

В нашем случае z^ = (210 - 32)/4 = 3,5 м.

Наибольший изгибающий момент

M_max = M_D(z^) = F(2z^ + c)(l - z^ - c)/l,

M_max = 20(23,5 + 2)(10 - 3,5 - 2)/10 = 81 кНм.

Максимальное напряжение

_max = M_max/W_x = 8110³/95310^-6 = 85 МПа.

2.2. Касательные напряжения

Элементарная теория касательных напряжений, разработанная Д.И. Журавским, основывается на двух допущениях.

1. Касательные напряжения направлены параллельно поперечной силе Q_y.

2. Касательные напряжения распределяются равномерно по ширине сечения.

Сделанных допущений достаточно, чтобы найти закон распределения касательных напряжений по высоте сечения. Проще всего вычислить эти напряжения через парные им касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях.

Рис. 20

Выделим из балки бесконечно малый элемент (рис. 20,г) и рассмотрим его равновесие в проекции на ось z:

. (а)

Вычисляя

,

,

,

и подставляя в (а), получим

или с учетом дифференциальной зависимости

(8)

Рассмотрим конкретные сечения.

Прямоугольник (рис. 21,а). Имеем: b_y = b,

, .

Следовательно,

и .

Как видим, касательные напряжения изменяются по высоте сечения по закону квадратной параболы.

Для балки круглого сечения (рис. 21,б) аналогично можно найти

и .

Рис. 21

Пример 15. Определить касательное напряжение в точке К данного сечения, если поперечная сила равна Q = 500 кН.

Рис. 22

Решение По формуле Журавского имеем . Учитывая, что bK = 6 см,

,

получим .

Пример 16. Построить эпюры вертикальной составляющей касательного напряжения в частях от наибольшего значения _max = _о для указанных форм поперечного сечения балки.

Рис. 23	N п/п	by			i/max
	1	0,5b	0	0	0
	2	0,5b	3b3/16	3b2/8	1
	3	b	3b3/16	3b2/16	1/2
	4	b	5b3/16	5b2/16	5/6
	3	b	3b3/16	3b2/16	1/2
	2	0,5b	3b3/16	3b2/8	1
	1	0,5b	0	0	0

Для остальных сечений студентам предлагается построить эпюры самостоятельно.

Рис. 24

2.3. Главные напряжения

В произвольной точке поперечного сечения балки, находящейся на расстоянии y от нейтральной оси, нормальные и касательные напряжения определяют по формулам

, .

Нормальные напряжения максимальны во внешних волокнах балки и равны нулю на нейтральной оси. Касательные напряжения равны нулю во внешних волокнах и обычно достигают максимума на нейтральной оси. При поперечном изгибе в плоскости yz _x = _y = 0, поэтому напряженное состояние является плоским и главные напряжения определяются по формулам

, . (9)

Рассмотрим балку прямоугольного сечения и определим главные напряжения в нескольких характерных точках произвольного сечения mn (рис.25).

117