Прогиб сечения С

.

Пример 32 Определить прогиб в сечении С. Решение. Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в точке

Рис. 53

С. Пользуясь правилом Верещагина, вычисляем параметры эпюр ₁ = -(1/2)4qa²2a = -4qa³, ₂ = ₃ = (2/3)2qa²2a = = 8qa³/3, C₁ = (2/3)(-a) = -2a/3, C₂ = C₃ = (5/8)a

и находим искомый прогиб

.

Пример 33 Определить прогиб в сечении С. Решение. 1. Построение эпюр изгибающих моментов. Опорные реакции: mD = 0, RA4a = qa3a + q2a2a + qa2, RA = 2qa, Yi = 0, RA + RD = 3qa, RD = qa.

Рис. 54

Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в точке С.

2. Определение перемещений. Для вычисления интеграла Мора воспользуемся формулой Симпсона, последовательно применяя ее к каждому из трех участков, на которые разбивается балка.

Участок АВ:

Участок ВС:

Участок СD:

Искомое перемещение

.

Пример 34. Определить прогиб сечения А и угол поворота сечения Е балки (рис. 55,а).

Решение. 1. Построение эпюр изгибающих моментов.

Эпюра М_F (рис. 55,в). Определив опорные реакции m_D = 0, R_В4a = q3a3,5а - qaa, R_B = 19qa/8, Y_i = 0, R_D = 13qa/8, строим эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М_F от заданной нагрузки.

Эпюра (рис. 55,д). В сечении А, где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента.

Эпюра (рис. 55,е). Эта эпюра строится от единичного момента, приложенного в сечении Е, где ищется угол поворота.

2. Определение перемещений. Прогиб сечения А находим, пользуясь правилом Верещагина. Эпюру М_F на участках ВС и CD разбиваем на простые части (рис. 55,г). Необходимые вычисления представляем в виде таблицы.

Номер части	1	2	3	4	5	6	7	
i	-qa3/6	2qa3/3	-qa3/2	qa3/4	qa3/4	-qa3	-qa3/2
Ci	-3a/4	-3a/4	-5a/6	-2a/3	-a/3	-a/6	0
iCi	qa4/8	-qa4/2	5qa4/12	-qa4/6	-qa4/12	qa4/6	0	-qa4/24

Получаем .

Знак “минус” в результате означает, что точка А перемещается не вниз, как была направлена единичная сила, а вверх.

Угол поворота сечения Е находим двумя способами: по правилу Верещагина и по формуле Симпсона.

По правилу Верещагина, перемножая эпюры M_F и , по аналогии с предыдущим получим

,

.

Для нахождения угла поворота по формуле Симпсона вычислим предварительно изгибающие моменты посредине участков:

Рис. 55

Искомое перемещение, увеличенное в EI_x раз,

Пример 35. Определить, при каком значении коэффициента k прогиб сечения С будет равен нулю. При найденном значении k построить эпюру изгибающего момента и изобразить примерный вид упругой линии балки. Решение Строим эпюры изгибающих

Рис. 56

моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в сечении С, где ищется прогиб.

По условию задачи V_C = 0. С другой стороны, V_C = I_i/(EI_x). Интеграл на участке АВ вычисляем по формуле Симпсона, а на участке ВС – по правилу Верещагина.

Находим предварительно

Перемещение сечения С ,

Отсюда , .

При найденном значении k определяем значение опорной реакции в точке А: m_B = 0, R_A4a = q4a2a - (8/5)qa², R_A = (8/5)qa, исходя из которого находим положение точки экстремума на эпюре М согласно условию z^ = R_A/q = (8/5)a.

По значениям момента в характерных точках

М_А = М_С = 0, М_В = -(8/5)qa²,

строим эпюру изгибающего момента (рис. 56,г).

148