12. 1. Канонический вид матрицы линейного преобразования.

При изучении свойств линейного преобразования важно выбрать такой базис пространства, в котором его матрица принимает канонический (простейший) вид. Соответствующий базис также называется каноническим. Для линейного преобразования пространства, т.е. оператора, переводящего пространство в себя, эта задача гораздо сложнее. Начиная с этого момента, линейное преобразование для краткости будем называть линейным оператором или просто оператором. Привести матрицу оператора к каноническому виду значит привести её к диагональному, или, если это невозможно, к блочно диагональному виду с блоками минимального размера и наиболее простого вида.

12. 2. Инвариантные подпространства.

Пусть линейный оператор действует в пространстве , т.е. переводит пространство в себя. Подпространство называется инвариантным для оператора , если , т.е. из . Выберем в такой базис, чтобы первые k базисных векторов образовывали базис инвариантного подпространства ( ).

Тогда матрица оператора в этом базисе имеет следующий вид

(10.1)

(здесь  матрица размера ограничения оператора на L₁).

Если пространство разложено в прямую сумму инвариантных подпространств , то в базисе пространства , состоящем из объединения базисов инвариантных подпространств, матрица оператора является блочно диагональной, т.е. имеет следующий вид:

(10.2).

(Размеры блоков совпадают с размерностями соответствующих инвариантных подпространств ).

12. 3. Собственные векторы и собственные значения оператора.

Матрица вида (10.2) будет диагональной, если инвариантные подпространства одномерные. Так как любой линейный оператор в одномерном пространстве умножает все векторы на число, то действие оператора на вектор из одномерного инвариантного подпространства задается формулой: (10.3).

Ненулевой вектор x, удовлетворяющий (10.3), называется собственным вектором оператора , а число  соответствующим ему собственным значением оператора . Важное свойство собственных векторов дает следующая теорема.

Теорема. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

12. 4. Характеристическое уравнение.

Для определения собственных значений оператора выберем в произвольный базис и запишем соотношение (10.3) в матричном виде: , или (10.4),

где  матрица оператора ,  столбец из координат вектора .

Система уравнений (10.4)  линейная однородная с квадратной матрицей , поэтому она имеет ненулевое решение тогда, и только тогда, когда определитель матрицы равен нулю. Уравнение называется характеристическим уравнением. Определитель является многочленом степени от переменной и называется характеристическим многочленом матрицы (оператора ). Каждое собственное значение оператора является корнем характеристического уравнения. Обратно, каждый корень характеристического уравнения является собственным значением оператора , так как в этом случае система (10.4) имеет ненулевое решение. Множество всех собственных значений оператора называется его спектром. Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , необходимо решить систему (10.4) при .