17. Классификация линий и поверхностей 2-го порядка
17.1. Сформулируем важную теорему, позволяющую нам классифицировать линии и поверхности 2-го порядка.
Теорема. В евклидовом пространстве для любой квадратичной формы существует ортонормированный базис, в котором эта форма имеет канонический вид.
Эту теорему мы примем без доказательства.
Мы будем рассматривать обычное двумерное (или трехмерное) пространство с привычным для нас скалярным умножением геометрических векторов. Теорема утверждает, что любая квадратичная форма на плоскости (или в пространстве) приводится к каноническому виду, причем канонический базис является ортонормированным: базисные векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину.
17.2.
Линии 2-го порядка.
Произвольная линия 2-го порядка на
плоскости задается уравнением вида
. (*)
Первые три слагаемых в левой части уравнения задают квадратичную форму
.
Согласно
теореме существует ортонормированный
базис плоскости, в котором форма
принимает канонический вид:
.
В этом базисе уравнение линии будет выглядеть следующим образом:
.
Теперь рассмотрим различные случаи.
1
случай.
,
т.е. коэффициенты
и
одного знака. Будем считать, что
и
(в противном случае умножим все уравнение
на -1). Выделением полных квадратов легко
привести уравнение к виду
(это соответствует сдвигу начала координат).
А).
При
уравнение можно записать в виде
.
Это уравнение эллипса.
Б).
При
получаем
.
Это пара мнимых пересекающихся прямых
.
На плоскости есть только единственная
точка, удовлетворяющая этому уравнению
– точка
.
В).
При
получаем
.
Это мнимый эллипс. На плоскости нет
точек, удовлетворяющих уравнению.
2
случай.
,
т.е. коэффициенты
и
разных знаков. Будем считать, что
,
.
Опять выделяем полные квадраты и получаем
.
А).
При
уравнение можно записать в виде
.
Это уравнение гиперболы. Стоит отметить,
что асимптотами гиперболы являются
прямые
.
Случай
аналогичен: поменяв базисные векторы,
получим снова то же уравнение.
Б).
При
уравнение примет вид
.
Это пара пересекающихся прямых
.
3
случай.
.
Будем считать,
что
.
Заметим, что
.
Выделим полный квадрат из слагаемых,
содержащих
.
Получим
.
А).
Если
,
то преобразуем уравнение так:
,
.
Это уравнение параболы.
Б).
Если
,
то уравнение принимает вид
.
Если
,
то уравнение можно записать в виде
.
Это пара параллельных прямых
.
Если
,
то имеем
-
пара совпадающих прямых
.
Если
,
то уравнение можно записать в виде 
.
Это пара мнимых параллельных прямых
.
Итак, возможны 9 различных вариантов линий 2-го порядка, в двух из которых множество точек плоскости пусто.
17.3. Классификация поверхностей второго порядка. Уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид:
.
Свяжем с этим уравнением квадратичную форму
.
Согласно теореме существует ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. В этом базисе уравнение поверхности запишется так:
.
Рассмотрим различные случаи.
1
случай. Ранг
квадратичной формы равен 3, т.е. коэффициенты
не равны нулю. Выделяя полные квадраты,
приведем уравнение к виду:
.
А).
.
А1).
.
Уравнение принимает вид
.
Это уравнение эллипсоида. Любые сечения
этой поверхности плоскостями, параллельными
координатным плоскостям, являются
эллипсами.
А2).
.
Уравнение принимает вид
.
Этому уравнению удовлетворяет единственная
точка пространства - точка
.
А3).
.
Мы получаем уравнение так называемого
мнимого эллипса
.
Множество точек, ему удовлетворяющих,
пусто.
Б).
.
Б1).
.
Уравнение принимает вид
.
Это однополостный гиперболоид. Его
горизонтальные сечения являются
эллипсами, а сечения координатными
плоскостями
и
- гиперболы.
Б2).
.
Уравнение приводится к виду
и задает конус.
Б3).
.
В этом случае получим
,
соответствующей поверхностью является
двуполостный гиперболоид.
В).
Случай
сводится к случаю Б) перестановкой
базисных векторов.
Г).
Случай
полностью аналогичен случаю А). Следует
только умножить все уравнение на -1.
2
случай. Ранг
квадратичной формы равен 2, т.е. один из
коэффициентов
равен нулю. Будем считать, что
.
После выделения полных квадратов получим
уравнение вида
.
А).
Если
,
то окажется, что уравнение не содержит
переменной
.
Это означает, что поверхность является
цилиндром.
Определение.
Поверхность
называется цилиндром, параллельным
прямой
,
если из того, что точка
принадлежит
,
следует, что все точки прямой, проходящей
через точку
и параллельной
,
принадлежат поверхности
.
Горизонтальным
сечением такого цилиндра может быть
эллипс, гипербола, пара пересекающихся
прямых, точка или пустое множество в
зависимости от того, какую линию на
плоскости задает уравнение
.
Б).
Пусть
.
Б1).
Если
,
то уравнение приводится к виду
.
Это уравнение эллиптического параболоида.
Б2).
Если
,
то уравнение приводится к виду
.
Это уравнение задает гиперболический
параболоид. Его горизонтальные сечения
– гиперболы. Сечение плоскостью
является параболой, ветви которой
направлены вверх, а сечение плоскостью
является параболой, ветви которой
направлены вниз.
3 случай. Ранг квадратичной формы равен 1. В этом случае уравнение имеет вид
.
Выделив полный квадрат из первых двух слагаемых, придем к уравнению
.
А).
Пусть
.
Сделаем замену координат:
,
.
Заметьте
– матрица перехода ортогональна, базис
остался ортонормированным. В этом базисе
уравнение выглядит так:
.
Из
этого уравнения легко получить
.
Мы получили уравнение параболического цилиндра.
Б).
Пусть теперь
,
т.е. коэффициенты
и
равны нулю. Тогда от уравнения останется
.
Б1).
При условии
уравнение можно записать в виде
,
и мы получим пару мнимых параллельных
плоскостей
.
Б2).
При условии
уравнение превращается в уравнение
и задает пару совпадающих плоскостей
.
Б3).
При условии
уравнение можно записать в виде
,
и мы получим пару параллельных плоскостей
.