Свойства проекции вектора

Л е м м а 1. Проекции равных векторов равны.

Л е м м а 2. Проекция вектора равна произведению проекции вектора на к.

Это предложение следует из того, что параллельными прямыми (плоскостями) все заключенные между ними прямые делятся на про­порциональные части (причем в случае к < 0 надо принять во внима­ние, что при умножении на отрицательное число как вектор, так и его проекция меняют направление на обратное).

Лемма 3. Проекция суммы нескольких векторов равна сумме проекций этих векторов.

Доказательство. Так как при построении суммы нескольких векторов начало каждого из складываемых векторов совмещается с концом предыдущего вектора, то и начало проекции каждого из складываемых векторов совмещается с концом проекции предыду­щего вектора; при этом совмещении, в силу леммы 1 (проекции равных векторов равны), проекции, передвигаясь по прямой, на которую производится проектирование, остаются равными себе как векторы. Таким образом, векторная ло­маная, служащая для построения суммы векторов, проектируется в векторную ломаную, служащую для построения суммы проекций этих векторов. Так как начало первого вектора проектируется в начало его проекции, а конец последнего вектора — в конец его про­екции, то вектор-сумма первоначальных векторов проектируется в век­тор-сумму их проекций, и лемма доказана.

Лемма. Положение центра тяжести системы точечных масс не изменится, если любую частичную группу точечных масс системы заме­нить одной точечной массой, расположенной в центре тяжести этой группы и имеющей в качестве массы сумму масс точек этой группы.

Действительно, так как положение центра тяжести, очевидно, не зависит от способа нумерации точек, то мы можем считать, что речь идет о группе из n первых точечных масс. Она заменяется одной точечной массой, сосредоточенной в её центре тяжести,

Эта лемма часто применяется при вычислении координат центров тяже­стей различных тел: тело разбивают на отдельные куски, центры тяжести которых легко найти, заменяя эти куски фиктивными точечными массами, равными массам этих кусков и сосредоточенными в их центрах тяжести, центр тяжести всего тела находят как центр тяжести этих точечных масс.

Центр тяжести С системы, состоящей из двух материальных точек М , М , обладающих положительными массами m и m , находится на отрезке M M и делит его на части, обратно пропорциональные массам m , m (в частности, центр тяжести двух точек, обладающих одинаковыми массами, находится посредине между ними).

Терминами «материальная точка», «масса» мы пользуемся исключи­тельно ради наглядности. В сущности речь идет о точках, каждой из которых приводится в соответствие некоторое число, которое (условно) называется «массой». Эти «массы» могут быть и отрицательными; в этом случае мы будем предполагать дополнительно, что сумма масс m + m +. . .+m отлична от нуля.

Правая и левая системы трех направлений

Р ассмотрим три орта , , , не параллельных одной и той же плоскости, и вообразим, что их начала совмещены.

Представим себе наблюдателя, расположенного вдоль орта так, что этот орт направлен от ног наблюдателя к голове, и вообразим, что наблюдатель смотрит по направлению орта . Тогда могут представиться два случая ¹): либо (рис. а) - орт направлен (по отношению к наблюдателю) слева направо, либо (рис. b) —справа налево. В первом случае направления , , (взятые в указанном порядке) составляют левую систему, а во втором — правую. Название «левая» происходит от того, что в первом случае орты , , (взятые в указанном порядке) ориен­тированы друг относительно друга так, как большой, указатель­ный и средний пальцы левой руки (предполагается, что первые два пальца вытянуты, а третий согнут под углом к ладони). Таким же образом орты , , , составляющие правую систему, связаны с пальцами правой руки.

Левая система ортов , , останется левой, если произвести «круговую перестановку» (круговой перестановкой нескольких элементов а, b, с, . . . , k, рас­положенных в определенном порядке, называется такая перестановка, при которой каждый элемент заменяется на следующий, а последний — на пер­вый. Например, применяя круговую перестановку к трем элементам а, b, с, получим b, с, а. Производя круговую перестановку еще раз, получим с, а, b. Если произведем круговую перестановку еще раз, то вернемся к старому порядку) их, т. е. рассматривать их в порядке , , Аналогичное свойство имеет место для правой системы. Наоборот, левая система перейдет в правую и обратно, если поме­нять местами только два орта. Например, если система , , левая, то система , , будет правой. Зеркальное отражение левой системы даёт правую, и обратно.

Так же можно различать левую и правую системы трех векто­ров, трех осей и вообще трех направлений.

Во многих вопросах геометрии и прикладной математики, кроме рассмотренного уже нами скалярного произведения, играет большую роль понятие так называемого векторного произведе­ния двух векторов, к определению которого мы переходим.

Векторным произведением векторов и называ­ется вектор , определяемый следующими условиями:

a) длина вектора численно равна произведению длин векторов и и синуса угла , заключенного между ними:

Иными словами, длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и (в предположении, что эти векторы проведены из общего начала), или, что все равно,— удвоенной площади треуголь­ника, построенного на этих векторах (рис.).

b) вектор перпендикулярен к плоскости векторов и , то есть к плоскости, параллельной векторам и . Можно для наглядности представить себе, что начала этих векторов совмещены, как на рис., тогда упомянутая плоскость есть плоскость, содержащая векторы и (или всякая ей параллельная).

Эти условия еще не вполне определяют вектор : остается сде­лать выбор между двумя возможными противоположными направ­лениями. Чтобы устранить эту двойственность, мы добавляем следующее условие:

c) векторы , , (в указанном порядке) составляют левую систему.

Векторное произведение

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла ф между ними

• вектор ортогонален каждому из векторов и

• вектор направлен так, что тройка векторов _, , является правой.

Смешанное произведение есть скаляр­ная величина, ибо оно получается, как результат скалярного перемножения двух векторов ( и ) и . Оно имеет весьма простое геометрическое значение. А имен­но, легко показать, что смешанное произ­ведение трех векторов , , равно объему параллелепипеда, построенного на этих трех векторах (отложен­ных от одной и той же точки); при этом объему приписывается определенный знак.

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости, из-за того, что результатом является скаляр (точнее - псевдоскаляр).

Смешанное произведение есть скаляр­ная величина, ибо оно получается, как результат скалярного перемножения двух векторов Р X Q и R. Оно имеет весьма простое геометрическое значение. А имен­но, легко показать, что смешанное произ­ведение трех векторов Р, Q, R равно объему параллелепипеда, построенного на этих трех векторах (отложен­ных от одной и той же точки); при этом объему приписывается определенный знак.

Необходимые и достаточные условия расположения трех точек на одной прямой и четырех точек на одной плоскости. Так как три точки коллинеарны (т. е. лежат на одной прямой) тогда и только тогда, когда площадь построенного на них „треугольника" равна нулю, и, точно так же, четыре точки компланарны (т. е. лежат на одной плоскости) тогда и только тогда, когда объем построенного на них «тетраэдра» равен нулю.

Упражнения и дополнения

1. Векторный момент относительно точки. Пусть = — некоторый связанный или скользящий вектор и пусть С — некоторая точка. Векторным моментом вектора относительно точки С называют вектор , приложенный к точке С и определяемый следующими условиями: длина вектора численно равна произведению длины вектора и перпендикуляра h, опущенного из точки С на прямую, содержащую век­тор ; вектор перпендикулярен к плоскости CAB и направлен в такую сторону, чтобы векторы , составляли левую систему.

Точка С называется центром (или полюсом) момента.

Легко видеть, что момент вектора относительно данной точки не изме­нится, если переместить этот вектор вдоль прямой, содержащей его. Наобо­рот, если перемещать эту прямую, то момент будет изменяться, так как при этом будет изменяться либо величина h, либо направление , либо и то, и другое вместе. Вот почему понятие момента применяют только к скользя­щим или связанным векторам, но не к свободным, которые можно произ­вольно перемещать (не изменяя направления).

Предлагается доказать, что =

2. Предлагается доказать: Mомент равнодействующей нескольких векторов, приложенных к данной точке А, равен сумме моментов составляющих («обобщенная теорема Вариньона»).

О размерности. В приложениях математики часто рассматриваются величины, изображаемые векторами: силы, скорости, моменты сил и т. д. Векторам, изображающим такие величины, приписывается размерность. Не вдаваясь в существо дела, мы ограничимся изложением формальных правил действий с размер­ностями. С формальной точки зрения размерность — это одно­член, составленный из какого-то набора символов. Такие одночлены перемножаются и делятся по обычным прави­лам действий над одночленами. Имеют место следующие правила действий с размерностями:

Складывать векторные величины можно только в том случае, когда их размерности совпадают. При этом размерность суммы та же, что и у слагаемых.

При умножении векторной величины на скалярную их размерности перемножаются.

Модуль векторной величины имеет ту же размер­ность, что и сама величина.

Скалярное и векторное произведение имеют размер­ность, равную произведению размерностей сомножителей. Это легко следует из их определений и предыдущего правила.

Для того чтобы изобразить векторную величину на чертеже, мы должны условиться о масштабе: сколькими единицами длины мы будем изображать одну единицу данной размерности (например, км, м/сек, И).

Если в векторном произведении сомножители имеют размерность длины, то произведение имеет размерность площади. Масштаб для изображения единиц площади выбирается так, чтобы одна единица площади изобража­лась одной линейной единицей. При этом длина вектор­ного произведения будет численно равна площади парал­лелограмма, построенного на сомножителях.

Поскольку единица длины у нас выбрана раз навсегда и не меняется, указанное соглашение ни к каким проти­воречиям привести не может. Однако оно не так безобид­но, как может показаться. Именно, два математика поль­зующиеся этим соглашением, но разными единицами длины (например, француз, пользующийся сантиметрами, и англичанин — дюймами), для одних и тех же векторов нарисуют несовпадающие векторные произведения.

Понятие «вектор» в школьном курсе математики и физики

Одним из фундаментальных понятий современной математики является вектор. Векторы находят широкое применение в других науках (физике, астрономии), так как позволяют упростить рассмотрение некоторых вопросов, а также решение задач этих наук.

В учебной литературе существуют различные трактовки понятия «вектор»: неопределяемое понятие (В.Г. Болтянский, М.Б. Волович, А.Д. Семушин) - это параллельный перенос (А.Н. Колмогоров); класс эквивалентных направленных отрезков (В.Г. Базылев) и др.

В школьном курсе геометрии векторы изучались не всегда. Например, в учебнике А.П. Киселева это понятие отсутствовало. Позже в учебнике А.Н. Колмогорова преобразование параллельного переноса отождествлялось с вектором. С математической и логической точки зрения определение вектора в этой книге не вызывало никаких сомнений, но подвергалось критике методистами. Данное понятие не усваивалось учащимися, определение заучивалось формально. Поэтому в ныне действующих учебниках геометрии вектор рассматривается как направленный отрезок. Хотя это определение с математической точки зрения не является вполне корректным (поскольку в математике обычно имеют дело со свободными векторами), но такой подход дает наглядное представление о векторе, осуществляется связь с физикой, в которой вектор тоже рассматривается как направленный отрезок.

В теме «Векторы на плоскости и в пространстве» изучаются следующие вопросы: понятие вектора, модуль вектора, сонаправленные векторы, равенство векторов, действия над векторами (сложение, вычитание, умножение вектора на число, скалярное произведение векторов).

В физике понятие вектора особенно широко используется в разделе «Механика».

Векторная запись имеет важные преимущества для теоретических вопросов, так как векторные уравнения не зависят от выбора системы отсчета и сохраняются при переходе от одной системы отсчета к другой: векторная запись всегда короче. Однако векторная запись вызывает трудности у учащихся, особенно при изучении разделов «Кинематика» и «Динамика». В большинстве ныне действующих школьных учебниках по физике изложение механики ведется на векторной основе с применением координатного метода, что позволяет в обобщенной форме записывать уравнения движения и решать задачи. При решении задач школьниками должны переходить от векторной записи уравнений через проекции величин на выбранную ось к скалярной записи. Некоторые авторы школьных учебников физики, например, Н.М. Шахмаев, выступают против векторного и координатного метода в изучении механики и считают, что наиболее простым, наглядным и достаточным для школьного курса физики является траекторный метод, так как в школе изучается простой материал, в основном прямолинейное движение в инерциальных системах отсчета. Важной особенностью механики является введение векторной записи формул перемещения, скорости, ускорения, сложение перемещения, скоростей при изучении относительности движения.

С понятия перемещения начинается изучение векторных величин в физике и действие над ними. Сложения векторов по правилу треугольника и параллелограмма, изученное в математике, наглядно иллюстрируем с помощью демонстрации движения тел в разных системах отсчета. Векторный характер скорости вытекает из того, что перемещение является вектором, при доказательстве применяем действие деления/умножения вектора на скаляр. Чтобы учащимся легче было применять знания из математики при изучении физики, учителю физики важно согласовывать свои требования, методы и стиль работы с преподавателями математики. Ученики должны знать, что векторные величины характеризуются абсолютным значением (модулем), направлением и геометрическим способом сложения - это самое важное в определении вектора, так как не все физические величины, имеющие модуль и направление, являются векторными. Например, сила тока имеет модуль и направление, но является скалярной величиной.

Большие сложности у учащихся возникают в определении знака проекции вектора перемещения, скорости и ускорения на оси координат. Определение знака проекций векторов на ось отрабатываем многократными упражнениями, сначала рассматривая одномерное, затем двумерное движение.

Учащиеся должны помнить, что определить знак проекции вектора на ось можно двумя способами: как разность координат проекций конца и начала вектора на ось, так и путем сравнения направления вектора с направлением оси координат (если совпадают по направлению, то проекция положительна, не совпадают - отрицательна).

Чтобы школьники хорошо ориентировались в различии векторных величин и их проекций, важно решать задачи не только на определение координаты тела в любой момент времени, но и графические задачи, которые могут проиллюстрировать функциональные зависимости между проекциями векторных физических величин. Учащиеся должны понимать, что построение графиков векторных величин невозможно, так как векторные величины характеризуются направлением, поэтому строим графики только для их проекций. Мы предлагаем такие задания: построить по графику скорости графики ускорения, перемещения, координаты, пути, располагая их один под другим и сопровождая свои рассуждения алгебраическими уравнениями, описывающими характер изменения проекций данных величин, а также рисунком, показывающим направление векторных величин по отношению к траектории движения и выбранной оси координат. Сопоставление графиков рассматриваемых величин способствует формированию основных понятий кинематики, позволяет анализировать характер зависимости между величинами, записывать уравнения движения. «Читая» графики, учащиеся убеждаются, что по характеру изменения проекции одной из величин можно определить все величины, характеризующие движение тела в данный момент времени.

Таким образом, осуществление единого подхода к введению понятия «вектор» в школьном курсе математики и физики позволяет добиться не только более глубокого усвоения данного понятия, но и овладеть методами построения некоторых вопросов физических теорий и решения сложных физических задач.