Векторная алгебра

1. Предварительные замечания. Первые лекции можно рассматривать как продолжение школьного курса геометрии. Известно, что каждая математическая дисцип­лина основывается на некоторой системе недоказываемых предложений, называемых аксиомами. Полный перечень аксиом геометрии, так же как и более подробные рассуж­дения о роли аксиом в математике, можно найти в книге Н. В. Ефимова « Высшая геометрия».

Мы не ставим себе целью изложение логических основ предмета и потому просто опираемся на теоремы, до­казываемые в курсе элементарной геометрии. Следователь­но, все наши результаты можно считать доказанными лишь постольку, поскольку доказаны эти теоремы.

Равным образом мы не пытаемся дать определение основных геометрических понятий: точки, прямой, плоскос­ти. Мы же будем считать, что эти и другие введенные в курсе средней школы понятия известны студентам.

Мы предполагаем также известными школьное опреде­ление действительных чисел и их основные свойства. (Стро­гая теория действительного числа приводится в учебниках математического анализа.) Мы будем широко использовать то обстоятельство, что при выбранной единице измерения каждому отрезку можно сопоставить положительное действительное число, называемое его длиной. Единицу измерения длин мы будем считать выбранной раз навсегда и, говоря о длинах отрезков, не будем указывать, какой единицей они измеряются.

Раздел II. Основы векторной алгебры

Глава 3. Векторы

3.1. Основные понятия

Вектор является математической моделью, которая используется, чтобы представить векторные величины, т.е. величины которые характеризуются не только своей величиной, но и направлением.

В ектором называется направленный отрезок ( = ) с начальной точкой А и конечной точкой В.

Длиной (или модулем) вектора (или ) называется число, равное длине отрезка АВ и обозначается или .

Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором. Нулевой вектор изображается точкой и обозначается , где . Направление нулевого вектора произвольно.

Вектора, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Если коллинеарные векторы имеют одно и то же направление, то их называют сонаправленными.

Два вектора называются равными, если выполнены следующие условия:

1) векторы имеют одинаковую длину;

2) они коллинеарны;

3) сонаправлены.

П ротивоположным вектору называется вектор, который обознается и удовлетворяет следующим двум условиям:

1) ;

2) .

Угол между векторами и - это наименьший угол между ними, если совместить их точки.

Если , то вектора и называются ортогональными, т.е. .

3.2. Линейные операции над векторами

Умножение вектора на число. Произведением вектора на действительное число  называется вектор такой, что . Вектор удовлетворяет следующим условиям:

1) ;

2) направление вектора совпадает с направлением вектора , если положительное, и противоположно ему, если отрицательное число;

3) .

Свойства:

 ;

 ;

 ;

 .

• Обычно принято в записи произведения числа и вектора число записывать слева, но в принципе допустим и обратный порядок, хотя все же обычное соглашение состоит в том, чтобы его избегать, если нет прямой необходимости.

Сложение векторов. Суммой векторов и называется вектор = + , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (правило треугольников).

Очевидно, что вектор в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (правило параллелограмма).

Свойства:

	
	

Вычитание векторов. Разностью двух векторов и называется = , т.е.

.

Таким образом, разностью векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , противоположного .

