3.3. Координаты вектора

Координатами вектора называются координаты его конечной точки.

Например, координатами вектора = на плоскости Оху являются два числа х и у, а в пространстве Охуz – три числа х, у, z.

Нахождение координат вектора через координаты начальной и конечной точек.

Пусть и . Имеем

(3.1).

Т аким образом, координаты вектора можно найти, вычитая из координат конечной точки соответствующие координаты начальной точки вектора.

Пример 3.1. Пусть даны координаты точек и . Найдем координаты вектора

Решение. Используем формулу (3.1):

Тогда

Линейные операции над векторами в координатной форме

Пусть и

Тогда

1) ;

2) ;

3) т.е. .

Пример. 3.2. Найти координаты вектора , если .

Решение. .

Условие коллинеарности (параллельности) векторов

Для параллельности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы координаты одного вектора были пропорциональны координатам другого

Векторы коллинеарны, если абсцисса первого вектора относится к абсциссе второго так же, как ордината первого — к ординате второго.

Формулы (1) и (2) кратко записывают в виде следующих про­порций:

соответственно

Здесь один из знаменателей может оказаться равным нулю. Чтобы обойти эту трудность, договоримся всякую пропорцию понимать в смысле равенства ad = bс. Тогда обращение в нуль одно­го из знаменателей означает обращение в нуль и соответст­вующего числителя.

При этом обращение какого-нибудь из знаменателей в нуль означает, в соответствии с равенствами (1) или (2), что и числитель этой дроби равен нулю.

Понимать эти равенства надо с таким условием: если какой-то знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель (про пропорциональность).

Из формулы вычеркиваются те из отношений, знаменатели которых равны нулю, а числители вычеркнутых отношений приравниваются нулю.

Длина (модуль) вектора заданного координатами

Если , то длина (модуль) вектора:

(3.2).

Расстояние между двумя точками и

АВ = (3.3).

Пример 3.3. Даны координаты точек и . Найти расстояние между ними.

Направляющие косинусы вектора

П усть – углы, которые образует вектор с осями координат Ox, Oy, Oz соответственно.

Тогда называются направляющимися косинусами вектора :

(3.4).

Следствия:

1)

2)

3.4. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(3.5).

Свойства скалярного произведения векторов:

1.	4.
2.	5. Условие перпендикулярности векторов Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
3.	6.

Проекцией вектора на вектор называется число, равное

(3.6).