1. Пусть мотоцикл (или любой другой двухколесный вид транспорта с управляемым передним колесом) входит на криволинейный участок пути (вираж) с заданием крена во внутреннюю сторону виража (рис. 1.22).

Поскольку колеса имеют собственную угловую скорость = и с появ­лением крена получают вместе с рамой мотоцикла принудительное вращение с угловой скоростью = (на рис. 1.22 направления и следует принять согласно правилу левого винта), то на них с появлением вращения по крену начинает действовать гироскопический момент = I ( ) = M , где I — момент инерции колеса относительно собственной оси вращения, который обеспечивает поворот рулевой колонки в нужную сторону (в направлении входа в вираж) даже тогда, когда водитель выпустит руль из рук, но будет координировать крен.

В результате входа в вираж появляется центробежная сила, направленная во внешнюю сторону виража и предупреждающая чрезмерное увеличение крена во внутреннюю его сторону.

Таким образом, гироскопический эффект обеспечивает связь движений и спо­собствует нормальному управлению мотоциклом.

Этот эффект обеспечивает принципиальную возможность вождения такого вида транспорта с отпущенным рулем, выполнения ряда цирковых номеров и т. д. при соответствующей координации движений.

Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть характер движения двух­колесного вида транспорта с поворотным задним колесом.

2 . Пусть двигатель летательного аппарата (рис. 1.23) вращается с угловой скоростью , а сам аппарат вынужденно движется по некоторой кривой (вираж, спираль, штопор), то есть вращается с = относительно оси Оу. Тогда век­торное произведение определяет соответствующее угловое ускорение = . В результате появляется гироскопический момент

= = - I = I = I ( ). Угловая скорость достаточно велика. Поэтому и гироскопический мо­мент также значителен. Физическое воздействие этого момента таково, что он способствует, в зависимости от направления , либо вводу в пикирование, либо выводу из него. Это, в свою очередь, приводит к тому, что из одного штопора (с переходом в пикирование) самолет выводится лучше, а из другого — хуже.

3. Пусть ротор турбины, установленной на плавательном аппарате, вращается с угловой скоростью (рис. 1.24). При развороте этого аппарата с угловой скоростью возникает гироскопический момент = = - I = I = I ( ). В результате его действия появляются силы дополнительного давления на опоры N = , при этом = .

Если корпус аппарата сравнительно легок, а гироско­пическая пара сил достаточно велика, то эти силы, передаваясь на корпус, обу­словливают крен во внутреннюю сторону циркуляции.

Изменение направления с этой точки зрения нежелательно, потому что тогда возникает дополнительный крен во внешнюю сторону циркуляции.

4.4. Двойное векторное произведение. Решение многих задач ди­намики тела с одной неподвижной точкой и задач гироскопии связано с последовательным вычислением нескольких векторных произведе­ний. Такой процесс решения приводит к понятию кратных векторных произведений, например, двойного векторного произведения.

З адачи, приводящие к двойному векторному произве­дению. Вычисление кинетического момента тела. При определении момента количества движения (кинетического мо­мента) тела с одной неподвижной точкой (рис. 1.25) имеем количе­ство движения некоторой материальной точки М (дискретной массы m сосредоточенной в точке М ): m . Момент количества движения этой массы: = (m ). Здесь скорость движения точки М, равна = . Следовательно, = m ( ) определяется через двойное векторное произведение ( ), а момент количества движения системы n материальных точек

= = .

Вычисление гироскопического момента двухстепенного гироскопа. Двухстепенный гироскоп применяют в качестве пассивного или активного стабилизатора поло­жения основания, на котором он установлен. Это свойство использова­но в проектах монорельсовой железной дороги (пассивный стабилиза­тор), успокоителя качки судов (пассивный или активный стабилиза­тор) и т. п.

Так, при появлении крена платформы и связанного с ним вынуж­денного движения (прецессии) ротора пассивного стабилизатора (рис. 1.26) с частотой = возникает угловое ускорение = = . Согласно приближенной теории гироскопа, ему соот­ветствует гироскопический момент = = -I , который, в свою очередь, возбуждает вторичное движение с некоторой угловой скоростью = , связанной с , линейной зависимостью = — (скалярный множитель = t измеряется в единицах времени).

Тогда взаимодействие движений с угловыми скоростями = и = приводит к появлению углового ускорения

= = = — ( ) = ( ), которому соответствует момент сил инерции (гироскопический), обу­словленный возбужденным вторичным движением, вычисляемый так же, как и ускорение , с помощью двойного векторного произведения

= = — I = — I ( ).

Физическое направление действия этого момента таково, что он стабилизирует положение внешней рамки подвеса, а следовательно, и основания, на котором закреплена рамка. Этот эффект можно полу­чить всегда, кроме того случая, когда оси собственного вращения и прецессии параллельны. При этом = = 0 и по­тому гироскопические моменты не возникают.

Схема активной стабилизации отличается от рассмотренной выше схемы пассивной стабилизации тем, что прецессия может возбуждаться специальным управляющим устройством таким образом, чтобы гиро­скопический момент находился в противофазе с угловой ско­ростью платформы и полностью компенсировал внешние возмуще­ния.

Наконец, возможна такая схема гиростабилизации, где гироскоп является только датчиком сигнала рассогласования, а удержание платформы в исходном ориентированном состоянии осуществляется специальными двигателями за счет внешних источников энергии.

Стабилизаторы активного и пассивного типа широко применяются в системах автоматического управления, в военной, космической и других видах современной техники.

1. В игpe по перетягиванию каната участвуют 4 человека. Двое из них тянут в одну сторону с силами 330 Н и 380 Н, а два - в другую с силами 300 Н и 400 Н. В каком направлении будет двигаться канат и как велика сила, двигающая его?

2. Сила тяги тепловоза 120 000 Н, а сила сопротивле­ния 110 кН. Определите равнодействующую силу.

3. Может ли числовое значение равнодействующей силы быть меньше числовых значений составляющих сил? Ответ поясни­те примерами.

4. На тело действуют 4 силы: 15 Н, 77 Н, 89 Н, 120 Н. Найдите их равнодействующую, если известно, что первые две силы направлены в одну сторону, а остальные по той же прямой в противоположную сторону.

5. Пять сил: 600 Н, 250 Н, 750 Н, 100 Н и 300 Н дей­ствуют на точку тела по одной прямой. Может ли величина равнодействующей быть равной 1,2 кН, 100H, нулю? Что для этого необходимо?

6. Подъемный кран движется v скоростью и поднимает груз cо скоростью v . Какую фигуру представляет траектория груза?

7. Тело движется со скоростью 10 м/с под углом 30 к го­ризонтали. С какой скоростью тело поднимается вертикально вверх к с какой скоростью движется тень тела по земле, если солнце находится в зените?

8. Тело весом 30 Н находятся на наклонной плоскости. Найти какая сила скатывает его с наклонной плоскости и с какой силой нормально давит это тело на нее, если угол наклона пло­скости 60.

9. Из точки, данной на берегу реки, отправляется к противоположному берегу катер со скоростью 40 км/ч. Скорость те­чения реки 5 км/ч. В каком направлении следует плыть катеру, чтобы приплыть в ближайшую точку противоположного берега река? Задачу решить графически.

10. Паpaшютист спускается к земле со скоростью 2 м/с. Скорость ветра равна 3 м/с. С какой скоростью движется парашю­тист?

11. Почему в безветренную дождливую погоду мы наклоняем зонтик вперед?

12. Почему в безветренную дождливую погоду капли дождя на окне движущегося поезда оставляют не вертикальные следы?

13. Вычислите работу, произведенную силой F=(5; 2; 1), если точка ее приложения перемещается прямолинейно из начала координат в точку А(2; 1; 4).

14. Вычислите, какую работу производит сила F=(3; 2; 4). если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положе­ния А(2; —5; 4) в положение В(7; —1; 3).

15. При проектировании механизма его звенья обозна­чают векторами. Их сумма определяет условие замкнутости механизма. Записать условие замкнутости для схемы четы­рехзначного механизма, изображенного на рис. 2.

16. Определить опорные реакции в шарнирах стержне­вой системы А ВС (рис. 3), один из стержней которой нагру­жен посредине силой Р = 2 т, причем АС = С В, = 30°. Весом стержня пренебрегаем.

17. На рис. 4 изображена решетчатая ферма, служащая для перекрытия заводских зданий. Во избежание вредных напряжений, которые могут возникнуть в ферме при колеба­ниях температуры, одна из опор делается

свободной (на катках). Пусть давление ветра на левый скат фермы выражается при выбранном масштабе вектором , направленным к горизонту. Определить реакции опор, испы­тываемые фермой под давлением ветра.

18. Тело весом g кг перемещается вверх по наклонной плоскости образующей с горизонтальной плоскостью угол. Найти силу Р, которая действует под углом к наклон­яй плоски и может сдвинуть тело с места, учитывая трение.

19. Точка О подвергается растяжению по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Приняв эту точку за начало координат, а упомянутые направления за на­правления координатных осей обозначив соответствующие осям напряжения через . Пусть перпендикуляр к произвольной плоскости, проходящей через точку О, составляет с осями координат углы . Определить пол­ное напряжение Р, действующее в точке О на эту плоскость.

20. Сила тяги вертолета образует с направлением ветра угол в 40°. Отношение скорости движения вертолета к ско­рости ветра равно 6. Найти угол между направлением дви­жения вертолета и направлением ветра.

21. Однородный стержень массой 3 кг прикреплен своим нижним концом к шарниру. К другому его концу подвешен груз массой 2 кг. Стержень удерживается в равновесии го­ризонтальной оттяжкой, прикрепленной к неподвижной вертикальной стойке. Вычислить силу натяжения оттяжки, если длина вертикальной стойки 1,4 м, а длина горизонталь­ной оттяжки 0,5 м.

22. Для всякой точки М твердого тела скорость опре­деляется формулой Эйлера = , где — угловая скорость вращения, а г — расстояние от точки М до точки О оси вращения, в которой приложен скользящий вектор . Найти линейную скорость вращения точек волчка, лежащих на окружности большого диаметра, равного 20, если = {—3, 2, 4} и вектор приложен в центре большой окруж­ности.

Ответы к задачам 15-22.

15. Векторное уравнение замкнутости: . Проектируя на оси координат, получим систему уравнений в проекциях:

16. На стержень ВС действуют две силы, равные по величине и, противоположные по направлению. Сила , с которой стержень ВС действует на точку С стержня АС, направлена вдоль ВС. Силы и пересекутся в точке D. По теореме о трех непараллельных силах через эту точку пройдет и направление реакции в точке А. Из силового треугольника А СВ, по теореме синусов,

.

Из равнобедренного треугольника CDE: DC = AC.

Из треугольника ACD:

.

При = 30°, ctg ф = 0, ф = 90° получим:

N = 2 cos 30° = 1,73 т, N = т.

17. Разложим силу на две составляющие: — перпендикулярную к кровле, и — параллельную ей. Вторая составляющая на ферму действия не окажет, ибо ветер будет скользить по кровле. Реакция левой подвижной опоры будет направлена перпендикулярно опорной плоскости, так как ничто не мешает ей перемещаться влево и вправо. Продолжив направление силы до пересечения с направлением реакции левой опоры в точке С, соединим эту точку с центром правой опоры В. Получим направление второй реакции. Разложим вектор = на составляющие Т'треугольника ФСВ-42

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 и . Реакции будут равны этим составляющим и направлены противоположно им.

18. Р = ,

где (угол трения) — угол между направлением равнодействующей реакции опоры и нормалью к поверхности; tg = . — коэффициент трения.

19. Для определения составляющей усилия вдоль оси ОХ выделим на плоскости площадку F и построим цилиндр с основанием F и oбpaзующей, параллельной оси ОХ. Тогда проекция на плоскость, перпендикулярную оси ОХ, будет равна Fcos , усилие Fcos , а напряже­ние Р = cos . Аналогично Р = cos и Р = cos . Пол­ное напряжение Р =

20. 34°.

21. , F = 12,25Н

22. = R (cos • + cos • + cosy • ).

= =10 ((2cos -4 cos )• + (3cos +4 cos )• - (3cos +2 cos )• ).

2 3. В каких явлениях, изображенных на рисунке 8, результат действия силы зависит от положения точки приложения? от направле­ния действия силы?

СЛОЖЕНИЕ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ТЕЛО ПО ОДНОЙ ПРЯМОЙ

24. Самолет стоит на взлетной дороге. Какие силы действуют на воздушный лайнер? Какова их равнодействующая? Почему? Поясните на схеме.

25. С помощью башенного крана поднимают груз. Скорость подъ­ема постоянна. Определите, какие силы действуют на груз? Каковы их направления? Какова равнодействующая? Почему?

26. Какой силой по модулю уравновешивалась сила тяжести, дей­ствующая на спускаемый космический аппарат массой 2,4 тс первым в мире космонавтом Ю. А. Гагариным, когда снижение происходи­ло равномерно? Почему?

27. Корабельный якорь массой 1,5 т поднимают с помощью лебедки, которая развивает силу тяги 20 000 Н. Какова равнодействующая сил, приложенных к якорю? Каково ее направление? Каково движение: якоря — равномерное или неравномерное? Почему?

28. На автомобиль, движущийся горизонтально, действуют сила тяги двигателя = 1000 Н, сила трения = 400 Н и сила сопро­тивления встречного потока воздуха = 600 Н. Изобразите все силы, действующие на автомобиль. Все ли силы, действующие на автомобиль, здесь названы? Какова равнодействующая сил, действую­щих на автомобиль в горизонтальном направлении? Какова равно­действующая сил, действующих на автомобиль в вертикальном на­правлении?

2 9. По наклонной плоскости длиной А В = = 5 м и высотой ВС =h = 2м вкатывают бочку весом Р = 1000 Н (рис. 63). 1) Какая работа будет совершена, если груз непосредственно поднять на данную высоту? 2) Как велика работа, производимая при подъеме груза по наклонной плоскости без учета трения? 3) Исходя из равенства работ, определите силу F, которая необходима для перемещения бочки вдоль наклонной плоскости. 4) Во сколько раз данная наклонная пло­скость дает выигрыш в силе?

30. Тело массой М = 10 т поднимают с помощью клинового механизма (рис. 66). С какой силой нужно действовать на клин в горизонтальном направлении, чтобы равномерно поднять тело? АВ = 1 м, ВС = 10 м.

Ответы к задачам 23-30.

23. В случаях а, г результат действия силы при неизменном направлении зависит от положения точки приложения; в случаях б и в — от направления действия силы, если положение точки приложения остается неизменной.

24. На самолет действует сила тяжести, направленная вертикально вниз. Такая же по модулю сила упругости действует на самолет со стороны дороги, но направленная вверх. Равнодействующая этих сил равна нулю, так как самолет покоится, его скорость не изменяется.

25. На груз действует сила тяжести, направленная вертикально вниз. Со сто­роны каната действует такая же по модулю сила упругости, направленная вверх. Эти силы равны по модулю, так как уравновешивают друг друга. Равнодействую­щая этих сил равна нулю.

26. Силой сопротивления воздуха, равной 23,5 кН, направленной вертикально вверх.

27. Около 5 кН; равнодействующая сил направлена в сторону действия силы виги лебедки; движение якоря неравномерное. Отличная от нуля равнодействую­щая увеличивает скорость подъема якоря.

28. Не названа сила упругости, с которой полотно дороги действует на автомо­биль; она по модулю равна силе тяжести и направлена вверх. В горизонтальном направлении равнодействующая всех сил равна = + + = 0; в верти­кальном направлении равнодействующая всех сил также равна нулю.

29. 1) А = Ph = 1000 Н • 2 м = 2000 Дж.

2) Совершается такая же работа, что и при непосредственном подъеме груза.

3) Ph = F , отсюда F = Р = 1000Н • = 400 Н.

4) Р : F= 1000 Н : 400 Н = 2,5 раза, т. е. во столько раз, во сколько длина наклонной плоскости больше ее высоты h.

30. F = 98 кН без учета трения.

31. Координаты центра тяжести панели образуют трехмерный вектор = (150,30,120). Определить координаты центра тяжести этой панели при уменьшении ее геометрической модели в десять раз. Найти расстояние от угла панели до ее центра тяжести.

Решение задачи основано на использовании понятия коллинеарности векторов и формулы для вычисления длины вектора.

32. Курсант плывёт со скоростью в 2 раза меньшей скорости течения воды в реке. В каком направлении он должен плыть к другому берегу, чтобы его снесло течением как можно меньше?

33. Самолет, летящий горизонтально на высоте с постоянной скоростью v, должен сбросить груз в определенную точку на земле. На каком расстоянии от цели нужно сбросить груз? Постройте траекторию груза, если v = 800 км/ч, h =2 км.

34. На противоположный берег реки необходимо перевезти материал для строительства опоры моста. Скорость течения реки 1 м/с, ширина реки 250 м. Укажите направление движения баржи относительно прямой, перпендикулярной берегу, если точка переправы находится на 100 м выше по течению. Скорость баржи в стоячей воде равна 5 м/с. Найдите время переправы.

35. На противоположный берег реки необходимо перевезти материал для строительства опоры моста. Скорость течения реки 1 м/с, ширина реки 250 м. Укажите направление движения баржи относительно прямой, перпендикулярной берегу, если точка переправы находится на 100 м ниже по течению. Скорость баржи в стоячей воде равна 5 м/с. Найдите время переправы.

3 6. Магазин торгует гвоздями двух видов: 25 и 40 мм. Масса гвоздей соответственно 5 и 10 г, цена 10 и 15 руб. за 1 кг. Покупатель, веду­щий ремонт, хотел бы купить гвоздей на 20 руб. Опишите доступные ему на эту сумму наборы гвоздей. Подскажите покупатель, сколько и каких гвоздей ему надо купить, если он хотел бы купить гвоздей длиной 40 мм в два раза больше по массе, чем гвоздей 25 мм.

37. Кориолисова сила

С тудентам геологических специальностей при изучении дисциплины «Геология Земли» может быть поставлен вопрос: «Почему правый берег северного полушария подмывается сильнее, чем левый?».

38. В данный момент времени известны координаты М (х ,у ) неприятельского самолета. Определить угол, под которым нужно выстрелить по этому самолету, чтобы снаряд попал в него; написать уравнение траектории снаряда (без учета сопротивления воздуха, шарообразности и вращения Земли).

39. Пушка стоит на шероховатой горизонтальной поверхности. Определить значение угла , при котором сила , необходимая, чтобы сдвинуть пушку, будет иметь наименьшую величину. Коэффициент трения равен f.

40. Определить скорость v , которую нужно сообщить ракете по вертикали вверх, чтобы она поднялась на высоту, равную радиусу Земли. При этом принимаем во внимание только силу притяжения Земли, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния ракеты от центра Земли. R = м; ускорение силы притяжения на поверхности Земли g = 9,8 м/с .

4 1. Два трактора ДТ-75 буксируют с помощью тросов каналокопатель. Како­ва суммарная сила тяги, если силы тяги тракторов 28 кН и 26 кН, а угол между тросами 35° (рис. 14)?

42. Выведите формулу зависимости силы сопротивления подъему трактора от силы тяжести трактора ( , Н) и угла подъема (а, град).

43. Определите по выведенной формуле силу сопротивления подъему трак­тора МТЗ-80, если масса трактора 3100 кг, а угол подъема 8° (рис. 15) .

44. Для того чтобы водонапорная башня при установке на животноводчес­ком комплексе во время подъема не перемещалась по фундаменту, ее нижнюю часть соединяют тросами с двумя якорями. Угол между тросами 90°, сила , действующая на нижнюю часть башни в одном из промежу­точных положений при подъеме автокраном, составляет 24,5 кН. Найдите силы и натяжения каждого троса (рис. 16) .

Найти удерживающую силу и силу давления кра­нов на плоскость (силой трения пренебречь), если известны массы кранов в рабочем положении и уклон пути (табл.). Расчеты производить в СИ.

Тип крана	Масса крана, в рабочем положении, т	Преодолеваемый ук­лон пути, град	Удерживаю­щая сила Р, кН	Сила давления G крана на плоскость, кН
КС-4371	23	18
КС-4372	23	20
КС-5473	27,8	15
КС-6471	44	15
КС-7471	67,8	12
КС-8471	87	15

45. Стрелу башенного крана КБ-403 принимаем за вектор . Вычислить проекцию вектора на ось Ох, если угол между положительным направлением оси Ох и направлением вектора равен : а) | | = 20, = 30°; б) | | = 20, = 35°; в) | | = 25, = = 45°; г) | | = 25, = 50°.

46. Башенный кран переместил груз из положения А(3; 4) в положение В(-1; 3). Вычислить, какую рабо­ту произвела сила (6; —2), если ее точка приложения двигалась прямолинейно.

47. Груз был перемещен из точки А (—2; 3) в точку В (—2; —1), а потом в точку С (—1; 0). В полученном треугольнике ABC найти: а) внутренние углы; б) угол между медианой, проведенной из вершины А, и сторо­ной АС.

4 8. Камень массой т лежит на склоне, тангенс угла которого равен 1/6. Найдите составляющую вертикальной силы, дейст­вующей в направлении, перпендикулярном поверхности земли.

49. С самолета при высоте полета 30 м проводится подкормка посевов. Ветер, дующий горизонтально в направлении, перпен­дикулярном направлению движения самолета, сносит удобрения со скоростью v = 2 м/с.

Частицы удобрения под действием силы тяжести и силы сопротивления воздуха падают вертикально вниз со скоростью v = 3 м/с. Определить величину и направление сноса удобрений относительно линии, над которой летит самолет. Под каким углом к поверхности земли падают частицы удобрения? Найдите вектор пути s, пройденного частицей удобрения при ее падении на землю. Смешением массы падающего удобрения за счет скорости движения самолета пренебречь.

50. В пространстве двух товаров с ценами (3, 5) укажите не­сколько наборов товаров стоимостью 15, 30, 45. Пусть цены изменились и ста­ли (4, 4). Приведите примеры наборов товаров, которые подешевели, подоро­жали, остались той же стоимости.

51. Уличный фонарь весом Р = 12 кг подвешен в точ­ке В к середине троса АВС, прикрепленного концами к крюкам А и С, находящимся на одной горизонтали. Длина троса АВС = 20 м, а точка В подвеса фонаря отклоняется от горизонтали на ВД = 0,1 м. Не учитывая веса троса, определить натяжение Т = Т (рис. 11).

Решение. В точке В приложены три силы: вес улично­го фонаря и силы натяжения тросов.

Вес фонаря, приложенный в точке В, раскладываем на состав­ляющие по направлению АВ и ВС. Построенный параллелограмм является ромбом, т.к. натяжение частей троса одинаково. Проведя вторую диагональ ромба» получим четыре равных прямоугольных треугольника, гипотенузы которых численно равны силам , а малые катеты силам /2. Определим величины сил методом подо­бия силовых и конструктивных треугольников. Любому из четырех силовых треугольников подобны АPВ и BДС. Из подобия следует

. Отсюда и определяем величину силы натяжения Т = = 600кг.

Ответ. 600кг.

52. Мачтовый кран, состоящий из стрелы АВ = 8,5 м, прикрепленный шарниром А к мачте и цепи ВС = 3 см. К концу стрелы В подвешен груз Р = 200 кг. Расстояние АС = 6 см. Опре­делить натяжение Т цепи и усилие Q, действующее на стрелу. Вес цепи и стрелы не учитывать (рис.12).

Р ешение. В данном случае к концу стрелы приложены три силы: вес груза Р, сила натяжения цепи Т, усилие Q, действующее на стрелу. Силу Р рассматриваем как равнодействую­щую сил. Силовой треугольник со сторонами Р, Q, T подобен треугольнику ABC мачтового крана. Из подобия следует . Отсюда находим Q = = 283 кг

Т = = 100 кг.

При решении задач, где нужно найти равнодействующую трех, четырех, пяти сил, действующих на тело, т.е. решение силовых треугольников, четырехугольников, пятиугольников уже вызывает некоторые трудности. Поэтому следует познакомить слушателей и с аналитическим методом решения задач. Этот метод основывается на понятии проекции силы на ось. Известно, что ортогональная проекция силы на ось, подобна проекции любого вектора на ось, равна произведению модуля силы на косинус угла, образованного положительным направлением оси проекций и направлени­ем проектируемой силы (рис. 13).

Рассматривая силы, расположенные в одной плоскости, имеем:

проекция силы на ось ОХ, F = F cos( ),

проекция силы на ось ОY, F = F cos( ).

Знак проекции на оси, модуль силы будет равен

F = , а cos( ) = F / F , cos( ) = F /F.

Из курса физики слушателям известно, что если на тело действуют силы, лежащие в одной плоскости, и сумма проекций сил на оси равна нулю, то тело находится в равновесии, т.е.

= 0, = 0.

Используя условия равновесия, можно решить задачу анали­тическим методом (методом проекций). Для этого необходимо:

Выделить твердое тело, равновесие которого будем рас­сматривать.

Изобразить заданные силы.

Выбрать в плоскости действия сил систему координат: одну из осей направить перпендикулярно к какой-либо неизвест­ной силе.

Составить уравнения равновесия твердого тела в проек­циях на оси координат.

Решить систему составленных уравнений и определить искомые величины.

Приведем решение нескольких типовых задач методом про­екций.

53. При анализе бракоразводных процессов был собран и обработан статистический материал за последний год в трех районах города Энска по ко­личеству разводов на почве: а) неверности одного из супругов; б) пьянства; в) материального неблагополучия. Результаты представлены по изученным рай­онам тремя векторами с координатами, соответствующими перечисленным ви­дам разводов:

= (20; 30; 10); = (15; 20; 15); = (25; 15; 8).

Выяснить, является ли данная информация достаточной для выражения анало­гичных процессов в других районах?

54. Группа студентов совершила туристическую поездку по ряду европейских стран. В конце путешествия обнаружилось, что в их кошельках накопились остатки валюты: 15 франков, 20 долларов, 10 фунтов стерлингов, и 40 немецких марок.

Студенты решили обратить валюту в рубли и организовать банкет. На обменном пункте они узнали курсы валют, которые составили: 1 франк – 10 рублей; 1 долларов – 30 рублей; 1 фунт – 15 рублей; 1 марка – 20 рублей.

Составить векторы валют и их курса.

Найти сумму денег в рублях, полученную студентами в обменном пункте.