Бюджетное государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Павловский автомеханический техникум им. И.И. Лепсе

§1. Плоская система сходящихся сил

Пример 1. Фонарь весом 9 кН подвешен на кронштейне АВС (рис. 1, а). Определить реакции горизонтального стержня АВ и наклонной тяги ВС, если АВ=1,2 м, ВС=1,5м; крепления в точках А, В и С шарнирные.

Решение графо-аналитическим методом с применением геометрических соотношений.

1. На шарнир В действуют три силы: вес фонаря (рис. 2, б) и реакции стержней и , направленные вдоль стержней. Заметим, что стержень АВ сжат, значит реакция направлена от стержня к шарниру, а стержень ВС растянут, поэтому реакция направлена от шарнира к стержню.

2. Так как шарнир под действием этих трех сил находится в равновесии, силовой треугольник составленный из них должен быть замкнутым. Выберем произвольную точку D (рис. 1, в) и отложим от нее отрезок DE, изображающий силу . Из точек E и D проведем прямые EF и DF, параллельные соответственно АВ и СВ. В полученном треугольнике DEF сторона EF изображает реакцию (реакцию стержня АВ) и сторона FD - реакцию (реакцию стержня ВС).

3. Так как в условии задачи даны линейные размеры кронштейна, величины сил и наиболее просто определить исходя из подобия треугольников АВС и EFD:

Отсюда

и

4. Неизвестную в задаче величину АС определяем по тереме Пифагора:

5. Окончательно определяем:

Ответ: Стержень АВ сжат силой =12 кН, а стержень ВС растянут силой =15 кН.

Пример 2.

К шарниру В кронштейна ABC прикреплена ве­ревка, перекинутая через блок, к другому концу которой прикреп­лен груз весом G= 1,5 кН (рис. 2). Определить усилия в стерж­нях АВ и СВ кронштейна, если креплении в точках А и С шар­нирные, ά = 35° и β = 100°.

Рис. 2

Решение графо-аналитическим методом с применением тригонометрических соотношений.

1. На шарнир В в направлении к блоку действует натяжение веревки, равное весу груза , и вызывает появление двух усилий, направленных вдоль стержней. При этом стержень АВ растягивается, а стержень СВ сжимается.

Так как рассматривается равновесие шарнира В, то отбросим стержни, заменив их реакциями и , приложенными к шар­ниру. Изобразим шарнир вместе с тремя силами на рис. 51, б.

2. Силы , и образуют уравновешенную систему, значит построенный из них треугольник является замкнутым (рис. 2, в). Как видим, ΔDEF и ΔАВС в данной задаче не подобны друг другу;— ΔАВС прямоугольный, а в ΔDEF DEF = β = 100⁰ , ЕFD=ά = 35° и, следовательно, EDF = γ = 180—(100° + 35°)= 45°.

3. Применив к ΔDEF теорему сину­сов, получим

Откуда

Решение методом проекций.

1. Изобразив шарнир В вместе с дей­ствующими на него силами , и ,

и расположив оси проекций, как показано на рис. 3, составим уравнения равновесия:

Рис. 3

Gcos γ + N_Ccos ά - N_A=0 (1)

Gsin γ - N_Csin ά =0 (2)

2. Из уравнения (2)

а из уравнения (1)

N_A= Gcos γ + N_Ccos ά = 1,5cos45⁰ + 1,85cos35⁰ =1,06 + 1,51 = 2,57 кН

Как и следовало ожидать, оба решения дают одинаковый ре­зультат. Реакции стержней (их действия на шарнирный болт В) равны N_A = 2,57 кН и Nc=l,85 кН. Точно с такими же усилиями действует шарнирный болт на стержни.

Ответ: Стержень АВ растянут силой N_A = 2,57 кН, а стержень СВ сжат силой Nc=1,85 кН.