Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Буланов В.Е., Гузачев А.Н. Теория упругости и пластичности

.pdf
Скачиваний:
71
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
516.91 Кб
Скачать

z

ν

 

 

 

A

 

 

n

 

 

 

m O

l

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

Рис. 3.2

 

 

Пример 3. Для напряженного состояния

в точке тела (рис.

3.1) задано шесть компонентов: σx = −50 МПа ;

σy = 70 МПа ; σz = 100 МПа ; τxy = −80 МПа ;

τyz = −60 МПа ; τzx

=100 МПа. Требуется определить значения главных

напряжений и положения главных площадок. Р е ш е н и е.

1 Определение значений главных напряжений. Согласно (3.2), имеем:

J1 = −50 + 70 +100 = 120; J2 = −50 70 +70 100 100 50 802 602 1002 = −21 500;

J3 = −50 70 100 +2 80 60 100 +50 602 70 1002 100 802 = −550 000 .

По формулам (3.4) получаем:

p = −21 500 131202 = −26 300;

q = − 272 1203 13120 21 500 +550 000 = −438 000;

r = 26 300/3 = −93,6305 ;

cos ϕ =

438 000

= 0,266804;

ϕ = 74,5258

o

.

2 (93,6305)3

 

Используя (3,5), находим корни уравнения (3.3):

y1 = −2(93,6305)cos(74,5258/3)=169,934; y2 = 2(93,6305)cos(60 74,5258/3)= −153,098; y3 = 2(93,6305)cos(60 +74,5258/3)= −16,835 .

Проверка значений корней по (3.6)

169,934 − 153,098 − 16,835 = 0,001 ≈ 0 .

Вычисляем главные напряжения:

σ′ = 169,934 + 120 / 3 = 209,934 ; σ′′ = −153,098 + 120 / 3 = −113,098 ; σ′′′ = −16,835 + 120 / 3 = 23,165 .

Принимаем:

σ1 = 209,934 lo = ; σ2 = 23,165 lo = ; σ3 = −113,098 lo = .

Проверка главных напряжений по (3.8):

209,934 + 23165, − 113,098 = 120,001 ≈ 120 ;

209,934 23,165 23,165 113,098 113,098 209,934 = −21 499,9 ≈ −21 500; 209,934 23,165 113,098 = −550 009,3 ≈ −550 000 .

2 Определение положений главных площадок.

Находим положение главной площадки, по которой действует напряжение σ1 = 209,934 lo = . В (3.10) подставляем

σ = 209,934 lo = :

 

 

l1

=

 

(70,0 209,934)100,0 80,0 60,0

 

 

= 0,627 ;

 

n1

 

80,02 (50,0 209,934)(70,0 209,934)

 

 

 

 

 

m1

=

 

 

(−50,0 − 209,934) (−60,0)+ 100,0 80,0

= −0,78723 .

 

 

80,02 (− 50,0 − 209,934)(70,0 − 209,934)

n1

 

 

 

 

Проверка по третьему уравнению системы (3.9):

100,0 0,627 + 60,0 0,78723 + (100,0 − 209,934) = 109,934 − 109,934 = 0 .

Из уравнения (3.11) находим n1 :

0,6272 + 0,787232 + 1 =

1

 

 

или

2,01286 =

1

,

 

 

 

 

n

= ±0,7048.

 

n2

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Принимаем n1 = 0,7048 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0,7048 (0,78723)= −0,5548.

 

l1 = 0,7048 0,627 = 0,4419;

 

m1

 

Находим положение главной площадки, по которой действует напряжение

σ2 = 23,165 lo = .

В (3.10) подставляем

σ = 23,165 lo = :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l2

 

=

 

 

(70,0 23,165)100,0 80,0 60,0

 

 

 

= −0,011855 ;

 

 

 

 

 

n2

 

80,02 (50,0 23,165)(70,0 23,165)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

 

=

(50,0 23,165)(60,0)+100,0 80,0

 

 

=1,26084 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

80,02 (50,0 23,165)(70,0 23,165)

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверка по третьему уравнению системы (3.9):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100,0 (0,011855)60,0 1,26084 + (100,0 23,165)= 76,835 76,836 0 .

 

Из уравнения (3.11) находим n2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(− 0,011855)2 + 1,260842 + 1 =

 

1

 

или 2,58986 =

 

1

 

,

 

 

n2 = ±0,6214 .

 

n22

 

n22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Принимаем n2 = 0,6214 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l2 = 0,6214(0,01185)= −0,007364 ; m2 = 0,6214 1,26084 = 0,7835.

 

Находим положение главной площадки, по которой действует напряжение σ3 = −113,098 lo = .

В (3.10) подставляем

σ = −113,098 lo = :

 

 

 

 

 

 

 

 

(70,0 (113,098))100,0 80,0 60,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l3

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −2,6216 ;

 

 

 

n3

 

 

 

80,02 (50,0 (113,098))(70,0 (113,098))

 

 

 

m3

=

 

 

 

 

(50,0 (113,098))(60,0)+100,0 80,0

 

 

= −0,81777 .

 

 

n3

80,02 (50,0 (113,098))(70,0 (113,098))

 

Проверка по третьему уравнению системы (3.9):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100,0 (2,6216)60,0 (0,81777)+(100,0 (113,098))=262,16 262,16 = 0 .

 

Из уравнения (3.11) находим n3 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(− 2,6216)2 + (− 0,81777)2 + 1 =

1

 

 

или 8,5415 =

1

 

 

,

 

 

n

= ±0,3422 .

 

 

n2

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Принимаем n3 = 0,3422 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l3 = 0,3422 (2,6216)= −0,897 ;

 

 

m3 = 0,3422 (− 0,81777)

= −0,2798 .

 

Проверка направляющих косинусов согласно условиям (3.12):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,4419(0,007364)+(0,5548)0,7835 +0,7048 0,6214 = 0,4379 0,4379 = 0;

 

0,007364(0,897)+0,7835(0,2798)+0,6214 0,3422 = 0,2192 0,2192 = 0;

 

−0,89702 0,4419 + (−0,2798)(−0,5548)

+ 0,3422 0,7048 = 0,3964 − 0,3964 = 0 .

 

На рис. 3.3 изображены нормали к главным площадкамν1 , ν2 , ν3 ; главные площадки ОBEC, BEFD, OADB; главные напряжения σ1 , σ2 , σ3 .

 

 

F

z

 

 

 

 

 

 

D

 

 

σ2

 

 

 

 

E

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ν1

-0,2798

C

 

σ3

 

0,7048

 

 

 

 

 

ν

B

ν 2

 

 

 

3

 

 

0,3422

 

 

 

 

-0,5548

 

-0,89702 0,6214

 

0,4419

x

 

 

 

 

σ1

-0,007364

0,7835

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.3

 

 

З а д а ч а 4

ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК З а д а н и е. Пластинка (рис. 4.1) изгибается под действием поперечной нагрузки. Задано уравнение упругой

yповерхности пластинки w(x, y). Требуется: 1) установить, каким граничным условиям удовлетворяет предложенное уравнение упругой поверхности w(x, y); 2) определить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

постоянный коэффициент С, используя дифференциальное уравнение изогнутой срединной

2b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поверхности пластинки; 3) составить выражения моментов и поперечных сил; 4) построить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

эпюры моментов и поперечных сил в сечениях xc , yc . Числовые данные взять из табл. 4.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 4.1

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поверхность

 

 

Поперечная

a

b

h

xс

yс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

строки

 

 

пластинки w(x, y)

 

нагрузка q(x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C sin

πx

 

cos

πy

 

q0 sin

πx

cos

πy

3

3

0,1

1

1

0,25

 

 

 

 

 

 

 

 

πx

 

 

 

 

 

πy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

2b

 

 

a

2b

 

 

 

 

 

 

C cos

 

 

 

 

 

 

q0 cos

 

πx

 

 

 

 

πy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

0,2

 

1

 

1

 

0,30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

C sin

2πx

 

cos

 

πy

 

 

q0 sin

2πx

 

cos

 

πy

 

 

5

 

5

 

0,1

 

1

 

1

 

0,35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

2b

 

 

 

 

 

a

 

 

2b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C cos

 

πx

 

 

 

 

2πy

 

q0 cos

 

πx

 

 

2πy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

6

 

0,2

 

1

 

1

 

0,25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

b

 

 

 

2a

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C sin

 

πx

 

 

 

 

 

πy

 

q0 sin

πx

 

 

 

 

πy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

0,1

 

2

 

2

 

0,30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

2b

 

2a

 

2b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

C cos

 

3πx

 

sin

 

πy

 

q0 cos

 

3πx

sin

 

πy

 

4

 

4

 

0,2

 

2

 

2

 

0,35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

2b

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

2b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

C sin

πx

 

cos

3πy

 

 

q0 sin

πx

cos

3πy

 

5

 

5

 

0,1

 

2

 

2

 

0,25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2b

 

 

 

 

 

2b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

C cos

πx

 

sin

πy

 

 

q0 cos

πx

sin

πy

 

 

 

6

 

6

 

0,2

 

2

 

2

 

0,30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2b

 

 

2b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

C sin

3πx

cos

 

πy

 

 

q0 sin

3πx cos

 

πy

 

 

4

 

4

 

0,1

 

3

 

3

 

0,35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2b

 

 

2b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

C cos

 

πx

sin

3πy

 

 

q0 cos

 

 

πx sin

3πy

 

5

 

5

 

0,2

 

3

 

3

 

0,25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

2b

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

б

 

 

в

 

а

 

б

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методические указания

Уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки

 

4

w

 

 

4

w

 

 

 

4

w

 

 

 

 

 

 

D

+ 2

+

 

 

= q(x, y) .

 

 

x2y2

y4

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изгибающие моменты:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2w

 

 

2w

 

 

 

 

 

M x

= −D

 

 

 

 

+

µ

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

y 2

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2w

 

 

2w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M y

= −D

y

2

 

+ µ

 

 

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

Крутящий момент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mxy = −D(1− µ)

2w

.

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поперечные силы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3w

 

3w

 

 

 

 

 

 

Qx

= −D

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

xy 2

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3w

 

3w

 

 

 

 

 

 

Qy

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −D

y

3

 

yx

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

Пример 4. Прямоугольная пластинка (рис. 4.1) изгибается под действием поперечной нагрузки интенсивности q(x, y) :

 

 

 

1

 

 

2

 

 

πx

 

 

πy

 

 

1

 

 

πx

 

1

 

 

 

πy

 

q(x, y) = q0

 

1

+

 

 

cos

cos

+

 

cos

+

 

cos

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2

 

 

a

b

a4

a

b4

 

b

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q0 = const .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задано уравнение упругой поверхности пластинки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

2

 

 

πx

 

 

πy

 

 

1

 

 

πx

 

1

 

 

 

πy

 

w(x, y) = C

 

 

+

 

 

 

 

cos

 

 

 

cos

 

 

 

+

 

 

cos

 

 

+

 

 

cos

 

 

;

 

 

b2

 

 

a

 

b

 

a4

 

a

b4

 

 

b

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С = const ;

a =2 м; b =1м;

µ = 0,3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Жесткость пластинки D = const . Требуется:

 

установить,

каким граничным

условиям удовлетворяет предложенное

уравнение упругой поверхности w(x, y); определить постоянный коэффициент С; составить выражения моментов и поперечных сил; построить эпюры моментов и поперечных сил в сечении yc = b/6 .

Р е ш е н и е.

1. Определяем условия на контуре пластинки (граничные условия):

при

x = ±a

w = 0;

при

y = ±b

w = 0.

Следовательно, пластинка оперта по всем четырем краям. Выясним, как она оперта: шарнирно или жестко. Уравнение углов поворота в направлении, параллельном Ox,

 

 

 

 

w

= −C

π

 

πx

 

+ cos

πy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

x

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

При

x = ±a

w

= 0 . Это значит, что левый и правый края защемлены.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение углов поворота в направлении, параллельном Oy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

= −C

π

 

πy

 

+ cos

πx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

y

 

b

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

При

y = ±b

w

= 0 . Получаем, что верхний и нижний края тоже защемлены. Итак, пластинка жестко защемлена по всем

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

четырем краям.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Определяем постоянную С. Для этого воспользуемся уравнением (4.1) и составим соответствующие производные:

 

 

 

2w

 

 

 

 

 

πy

π 2

 

 

 

πx

 

 

 

 

x 2

= −C 1+cos

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

;

 

 

 

b

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3w

 

 

 

πy

 

 

π 3

 

πx

 

 

 

 

 

x 3

 

=C 1

+cos

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

4w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πy

 

 

π 4

 

 

 

 

 

 

 

πx

 

 

 

 

 

 

 

x 4

 

= C 1

+ cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3w

 

 

 

 

 

 

π

 

 

2

π

 

 

 

 

 

 

 

πx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

yx2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4w

 

 

 

 

 

π

2

π

2

 

 

 

 

 

 

 

πx

 

 

 

 

 

 

 

 

πy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

;

y2x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

b

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πx π

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

πy

 

 

 

 

y2

= −C 1+cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πx

 

 

 

π 3

 

 

 

 

 

 

πy

 

 

 

 

 

 

 

y3

 

=C 1+cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4w

 

=C

 

+cos

 

πx

 

 

 

π 4

 

 

 

 

 

 

 

πy

 

 

 

 

 

 

 

y4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2w

= C

π2

 

 

 

sin

 

πx

 

sin

πy

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

ab

 

 

 

a

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3w

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

π 2

 

 

 

πx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

xy2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3w

 

 

 

 

 

π 2

π

 

 

 

 

 

 

πy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

yx 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Левая часть уравнения (4.1) принимает следующий вид

DCπ4

1

cos

πx

+

 

1

cos

πy

 

+

 

1

cos

 

πx

cos

 

πy

 

+ 2

 

 

1

 

cos

 

πx

cos

πy

+

 

1

 

×

 

 

 

 

 

b

a4

 

 

b

 

a2b2

a

 

 

 

 

 

a4

 

 

a b4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b b4

 

 

× cos

πx

 

 

πy

 

DCπ

4

 

1

 

+

 

1

2

 

 

 

πx

 

 

 

πy

+

1

 

 

πx

+

1

 

 

πy

 

cos

=

 

 

 

 

cos

cos

 

cos

cos

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

a4

 

a

b4

 

b

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив в уравнение (4.1) левую и правую (см. заданное выражение для нагрузки) части, после сокращений получаем

C = Dqπ0 4 .

3 Составляем выражения для внутренних усилий по формулам (4.2), (4.3), (4,4):

 

 

 

 

 

 

πy π

2

 

 

 

πx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πx

π

2

 

 

πy

 

M x

= DC 1

+ cos

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

+ µ 1

+ cos

 

 

 

 

 

cos

 

 

;

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

b a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πx π

2

 

 

 

πy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πy

π

2

 

 

πx

 

M y

= DC 1

+ cos

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

+ µ 1

+ cos

 

 

 

 

 

cos

 

 

;

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

= −DC

 

 

π2

 

1 − µ

)

sin

 

πx

sin

πy

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πy

 

 

π

3

 

 

πx

 

π π

 

2

 

 

 

 

πx

 

 

πy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qx

= −DC

1

+ cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

cos

 

 

;

 

b

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πx π

3

 

 

 

πy

π π

2

 

 

 

 

πy

 

 

πx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qy

 

 

+ cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

+

 

 

 

sin

 

 

cos

 

 

= −DC 1

a

 

 

 

 

 

b

 

 

b

a

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

b a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражения для внутренних усилий с учетом найденного значения С имеют вид

 

 

q

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

πy

πx

 

 

 

µ

 

 

 

 

 

 

 

 

πx

 

 

 

 

πy

;

M x

=

 

 

 

 

 

1 + cos

 

 

 

cos

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

1

+ cos

 

 

 

cos

 

 

 

π2

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

a

 

b

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

πx

 

 

 

 

πy

 

 

 

µ

 

 

 

 

 

 

 

 

πy

 

 

 

 

πx

;

M y

=

 

 

 

 

 

1 + cos

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

1

+ cos

 

 

 

cos

 

 

 

π2

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

a

 

 

 

 

b

 

a

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M xy

= −

 

 

 

q0

 

 

(1 − µ)sin

πx

sin

 

πy

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π2ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

q

0

 

1

 

+

1

 

 

 

 

πx

 

 

 

 

 

 

 

πy

+

1

 

 

 

 

 

 

πx

;

 

 

 

Qx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

πa

 

 

 

b2

 

 

a

 

 

b

 

a2

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

0

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

πy

 

 

 

 

 

 

πx

 

1

 

 

 

 

 

πy

 

 

 

 

 

 

Qy

= −

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

sin

 

 

 

.

 

 

 

πb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

a

b2

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив в полученные уравнения заданные

 

числовые

 

 

 

 

значения,

находим для усилий в требуемом сечении

y = yc =1/ 6 м следующие выражения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mx =

q0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πx

 

 

 

 

 

 

 

0,7265cos

 

 

 

 

 

+ 0,26

;

π2

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

My =

q0

 

 

 

 

 

πx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1006,cos

 

 

 

 

 

 

+ 0,866

;

π2

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mxy

= −0,175

q0

 

 

sin

πx

;

 

π2

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qx = −0,666

q0

 

 

sin

πx

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

y

b

b/6

O

x

b

a/2

a/2

a/2

 

a/2

 

 

 

 

0,467

 

 

 

0,467

 

 

π2

 

 

 

 

 

Mx

 

 

 

 

 

 

 

q0

 

0,26

 

0,26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-0,14

 

0,99

 

-0,14

 

 

π

2

 

 

 

M y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q0

 

0,87

 

0,87

 

 

 

 

 

 

 

1,87

-0,175

 

 

 

π2

0

 

 

0

Mxy

 

 

0

 

 

q0

 

+0,175

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,67

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

0 Qx

π

 

 

 

 

 

 

 

q0

 

 

 

 

0,67

 

 

 

 

 

0,125

 

 

 

0,125

Qy

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q0

 

 

0,5

 

0,5

 

 

 

 

 

 

 

1,125

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.2

Qy = − qπ0 0,625cos πax + 0,5 .

По последним уравнениям строим эпюры усилий для сечения y = b / 6 , изменяя x от –a до +a (табл. 4.2 и рис. 4.2).

Таблица 4.2

x

Mx

 

My

 

Mxy

Qx

Qy

 

Множитель q0/

 

Множитель q0/

 

 

 

a

–0,467

–0,14

0

0

0,125

–0,5a

0,26

0,87

0,175

0,666

–0,5

0

0,99

1,87

0

0

–1,125

0,5a

0,26

0,87

–0,175

–0,666

–0,5

a

–0,467

–0,14

0

0

0,125

З а д а ч а 5

ИЗГИБ КУГЛЫХ ПЛАСТИНОК

За д а н и е. Круглая пластинка, опертая по контуру, находится под действием внешней нагрузки (рис. 5.1). Требуется:

1)найти уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки w(r), воспользовшись общим решением основного

дифференциального уравнения изгиба пластинки; 2) составить выражения для изгибающих моментов Mr и M и для поперечной силы Qr; 3) построить эпюры Mr, M , Qr для диаметрального сечения пластинки. Числовые данные взять из табл. 5.1.

1

2

3

4

O

O

O

O

a

a

a

a

q

 

q

 

 

 

P

P

2a

2a

2a

2a

Рис. 5.1

Таблица 5.1

a,

h,

 

строки

схемы

м

м

 

1

1

3

0,1

0,25

2

2

4

0,2

0,30

3

3

5

0,1

0,35

4

4

6

0,2

0,25

5

1

3

0,1

0,30

 

е

а

б

в

a,

h,

 

строки

схемы

м

м

 

6

2

4

0,2

0,35

7

3

5

0,1

0,25

8

4

6

0,2

0,30

9

1

3

0,1

0,35

0

2

4

0,2

0,25

 

е

а

б

в

Методические указания

Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности круглой пластинки (осесимметричная задача)

d

4w

 

2 d 3w

 

 

 

1 d 2w

 

 

 

1 dw

 

D

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

= q(r) .

 

 

4

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

dr

 

 

r

dr

 

 

r

 

 

dr

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

Изгибающие моменты:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2w

 

 

µ dw

 

 

 

 

 

 

 

M

r

= −D

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

r

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 dw

 

 

 

 

 

d 2w

 

 

 

 

 

 

M

θ

= −D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

Поперечная сила

 

 

 

 

 

 

 

 

r dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 3w

 

 

1 d 2w

 

 

 

1

 

 

dw

 

 

Q

r

= −D

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

r

 

dr

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

Решение дифференциального уравнения (5.1) имеет вид

(5.1)

(5.2)

(5.3)

 

 

w(r) = C1 lnr + C2r2 lnr + C3 + C4r2 + w* ,

(5.4)

Здесь w* – частное решение, зависящее от функции нагрузки q(r). При равномерно распределенной нагрузке

q(r) = q из

(5.1) получаем

 

 

 

w* =

qr4

.

 

 

 

 

64D

 

Пример 5. Круглая пластинка радиусом а, жестко защемленная по контуру, находится под действием внешней нагрузки q(r) = qr / a . Жесткость пластинки D = const . Найти уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки,

составить выражения и построить эпюры для Mr, M , Qr. Р е ш е н и е.

1 Находим уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки.

Для этого интегрируем последовательно четыре раза уравнение (5.1). Таким образом,

 

2

 

2

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

w =C1 ln r +C2r

 

ln r +C3 +C4r

 

+

 

r

q(r)rdr dr dr dr ,

 

 

D

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

w = C1 lnr + C2r2 lnr + C3 + C4r2 + w* .

Здесь С1, С2, С3, С4 – постоянные интегрирования, определяемые из условий нагрузки и закрепления пластинки;

*

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

w

=

 

 

 

r

 

 

 

 

q(r)rdr dr dr dr

– частное решение уравнения (5.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При q(r) = qr / a

получаем

 

 

w* = qr5 . 225aD

Находим постоянные интегрирования С1, С2, С3, С4 . В заданной пластинке нет отверстия в середине, следовательно, прогиб в центре должен иметь определенное конечное значение. Это возможно при C1 = 0 , так как иначе в центре пластинки прогиб получится равным бесконечности.

Далее, в центре пластинки нет сосредоточенной силы, следовательно, не должны возникать бесконечно большие внутренние усилия. Для этого принимаем С2 = 0.

Остальные постоянные интегрирования С3 и С4 находим из граничных условий на контуре пластинки.

В данном случае контур жестко защемлен, т.е. при r = a прогиб и угол наклона срединной плоскости должны обращаться в ноль. Выражения для прогиба и угла поворота

w =C3 +C4r2 +

qr5

 

 

 

 

,

 

 

 

dw

 

= 2C4r +

qr4

.

 

 

 

225aD

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45aD

 

 

При r = a имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C3 + C4a2 +

qa4

= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

225D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qa3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2C4a +

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (5.5) получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C3 =

qa4

 

 

;

 

 

C4

= −

 

qa2

 

.

 

 

 

 

 

 

150D

 

 

 

90D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение изогнутой срединной поверхности в окончательном виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w =

 

qa

4

 

 

 

 

 

5r

2

+

2r

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a5

 

 

 

 

 

 

 

450D

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составляем выражения для изгибающих моментов Mr , M и поперечной силы Qr:

 

 

 

 

 

 

 

dw

 

=

 

qa

4

 

 

 

 

 

 

r

 

+

r

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

a5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

2

w

 

=

 

qa

4

 

 

 

 

 

1

 

 

 

+

4r

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

a5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 3w

 

=

 

 

4qr

2

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr3

 

 

 

15Da

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2w

 

 

 

µ dw

 

 

 

 

 

 

 

qa2

 

 

 

 

 

 

 

 

r 3

M r = −D

 

 

 

+

 

r dr

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ µ −(4 + µ)

 

 

 

;

 

 

 

 

 

45

 

 

 

 

 

 

dr2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 dw

 

 

 

 

 

d 2w

 

 

 

 

 

 

 

 

qa2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

3

M θ = −D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+ µ

(1+ 4µ)

 

 

;

 

 

 

 

 

dr2

 

 

 

 

45

 

 

 

 

 

 

r dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 3w

 

 

 

1 d 2w

 

 

 

1

 

 

 

dw

 

 

 

qa r

2

 

Q

r

= −D

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r dr

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 a

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

По последним выражениям строим эпюры усилий для радиального сечения, изменяя r от 0 до +a (табл. 5.2 и рис. 5.2).

Таблица 5.2

r

Mr

 

 

M

 

Qr

 

Множитель qa2/45

 

Множитель qa/3

 

 

0

1,3000

 

 

1,3000

 

0,0000

a/2

0,7625

 

 

1,0250

 

–0,2500

a

–3,0000

 

 

–0,9000

 

–1,0000

 

q

 

 

 

 

q

 

 

a/2

a/2

a/2

a/2

 

 

 

3,0

 

 

 

 

3,0

 

 

 

 

 

 

 

Mr

45

 

 

 

 

 

 

 

qa2

 

 

0,7625

 

1,3

0,7625

 

 

 

-0,9

 

 

 

-0,9

 

 

 

 

 

 

45

 

 

 

 

 

 

Mθ

 

 

1,025

 

1,3

1,025

 

qa2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

0

 

Qr

 

1,0

0,25

 

0,25

1,0

qa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.2

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М., 1968.

2Варданян Г. С., Андреев В. И., Атаров Н. М., Горшков А. А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М., 1995.

3Колкунов Н. В. Основы расчета упругих оболочек. М., 1987.

4Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М., 1975.

5Рекач В. Г. Руководство к решению задач прикладной теории упругости. М., 1984.

6Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности. М., 1982.

7Теребушко О. И. Основы теории упругости и пластичности. М., 1984.

8Терегулов И. Г. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности. М., 1984.

9Тимошенко С. П. и Гудьер Дж. Теория упругости. М., 1979.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.