Буланов В.Е., Гузачев А.Н. Теория упругости и пластичности
.pdf
З а д а н и е. Дана прямоугольная полоса-балка (рис. 1.1) длиной l , высотой h и толщиной, равной 1. Выражения для функции напряжений φ(x, y) и числовые значения выбрать из табл. 1.1. Объемными силами пренебречь. Требуется: 1)
проверить, можно ли предложенную функцию φ(x, y) принять для решения плоской задачи теории упругости; 2) найти
выражения для напряжений σx , σy |
и τxy ; 3) построить эпюры напряжений σx , σy и τxy для сечений x = xc и y = yc ; 4) |
|||
y |
|
|
y |
|
o |
x |
h |
o |
z |
|
|
|||
l |
|
|
1 |
|
Рис. 1.1
определить внешние силы (нормальные и касательные), приложенные ко всем четырем граням полосы-балки, дать их изображение на рисунке полосы-балки; 5) выполнить статическую проверку для найденных внешних сил.
Таблица 1.1
|
№ |
Функция напряжений |
|
a |
b |
l |
h |
xс |
yс |
|
|
строки |
|
φ(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a(x4 |
− y4 )+bx3 y + xy |
3 |
1 |
1 |
5 |
1 |
1 |
0,2 |
|
ax(x |
2 + y2 )+bx2 y + xy |
||||||||
|
2 |
2 |
1 |
6 |
1 |
2 |
0,3 |
|||
|
ay(x |
2 + y2 )+bxy2 + xy |
||||||||
|
3 |
2 |
1 |
5 |
2 |
2 |
0,4 |
|||
|
ax3 +bx2 y + xy2 + xy |
|
||||||||
|
4 |
|
1 |
2 |
6 |
1 |
2 |
0,3 |
||
|
a(y4 |
− x4 )+bxy3 + x2 y |
||||||||
|
5 |
1 |
2 |
6 |
2 |
2 |
0,5 |
|||
|
ax4 − 3ax2 y2 +bxy3 |
|
||||||||
|
6 |
|
2 |
2 |
4 |
2 |
1 |
0,5 |
||
|
ax3 y − 3bx2 y2 +by4 |
|
||||||||
|
7 |
|
2 |
1 |
4 |
2 |
1 |
0,5 |
||
|
ax4 − 3(a +b)x2 y2 +by4 |
|||||||||
|
8 |
2 |
1 |
6 |
1 |
3 |
0,3 |
|||
|
axy3 + x3 + y3 −bxy |
|
||||||||
|
9 |
|
1 |
2 |
5 |
1 |
2 |
0,2 |
||
|
ax3 y + 3bx2 y2 −by4 |
|
||||||||
|
0 |
|
2 |
1 |
5 |
2 |
2 |
0,4 |
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
е |
|
|
|
|
д |
|
|
Методические указания
Предложенная для решения плоской задачи теории упругости функция φ(x, y) должна удовлетворять бигармоническому уравнению
∂4φ |
+2 |
∂4φ |
+ |
∂4φ |
= 0 . |
(1.1) |
|
∂x 4 |
∂x 2∂y2 |
∂y4 |
|||||
|
|
|
|
2Решить такую же задачу, только при условии заделки по контуру.
3Круглая сплошная пластинка радиуса R шарнирно оперта по контуру и нагружена изгибающим моментом М, равномерно распределенным по контуру. Найти:
а) уравнение срединной поверхности; б) выражения изгибающих моментов.
ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ
Л и т е р а т у р а: [1, §§ 15.14, 15.15]; [6, гл. 8, §§ 13]; [7, §§ 29 – 33]; |
[8, §§ 16.10, 17.8]. |
При прогибах, сравнимых с толщиной пластинки, следуя нелинейной теории изгиба, Карман свел задачу об изгибе пластинки к двум нелинейным дифференциальным уравнениям, в которые входят производные от функции напряжений φ и прогиба w.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ИЗГИБА ПЛАСТИНОК
Л и т е р а т у р а: |
[1, §§ 14.04, 15.09 – 15.11]; [2, §§ 20.11]; [6, гл. 9, |
§§ 1 – 7]; [7, §§ 40, 46 – 49]; [8, §§ 12.5, 17.6, 19.6]. |
|
Методы, которые основываются на интегрировании уравнения Софи Жермен – Лагранжа, часто требуют довольно громоздких |
|
выкладок и в ряде случаев приводят к непреодолимым пока математическим трудностям. Между тем для практических целей |
|
нередко бывает достаточно получить приближенное решение задачи. |
|
Идея метода Ритца – Тимошенко в основном заключается в следующем. Задаются изогнутой поверхностью пластинки в виде ряда
n
w = ∑ak φk (x,y),
k =1
где ak – обобщенные координаты упругой системы; функции φk выбирают так, чтобы они удовлетворяли граничным
условиям пластинки. Составляют выражение полной энергии пластинки Э, выраженной через w, и из условий минимума функционала Э получают
∂Э = 0 , k = 1, 2, ... , n.
∂ak
Последние равенства представляют собой систему n линейных алгебраических уравнений, из которых находят значения параметров ak, определяющих изогнутую поверхность пластинки.
Ограничиваясь приведенными краткими замечаниями, рекомендуем познакомиться подробнее с приближенными методами Ритца – Тимошенко, Бубнова – Галеркина и Власова по литературе.
Т е м а 5
ОСНОВЫ РАСЧЕТА ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
Л и т е р а т у р а: [1, §§ 16.01 – 16.06]; [3, гл. 1, §§ 1.1 – 1.7, гл. 2, §§ 2.1 – 2.5, 2.9, гл. 3, §§ 3.1 – 3.14, гл. 4, §§ 4.1 – 4.5, гл. 6, §§ 6.1, 6.2, 6.5, 6.6]; [6, гл. 10, §§ 1 – 13]; [7, §§ 50 – 57]; [8, §§ 18.1
– 18.6].
Необходимо прежде всего вспомнить некоторые сведения из дифференциальной геометрии: способы задания кривой, способы задания поверхности, криволинейные координаты на поверхности, нормальное сечение, главные радиусы кривизны и главные кривизны, линейный элемент, первая квадратичная форма поверхности и др.
Необходимо четко представлять себе внутренние силы, действующие на элемент оболочки, в общем случае напряженного состояния: N1 , N2 – нормальные усилия; Q1 , Q2 – поперечные силы; S12 , S21 – сдвигающие силы; М12 , М21 – крутящие моменты; М1 , М2 – изгибающие моменты.
В рассматриваемой здесь системе координат и являются криволинейными координатными линиями. Составив
z
|
Q1 |
Q2 |
|
α |
N1 S21 |
S12 N2 |
β |
M21 |
M12 |
|
|
|
M2 |
||
|
M1 |
|
условия равновесия рассматриваемого элемента оболочки, получим пять уравнений, содержащих десять неизвестных усилий.
Учитывая закон парности касательных напряжений и малость толщины оболочки по сравнению с радиусом ее кривизны, можно считать, что M12 = M21 и S12 = S21. Следовательно, из условий равновесия имеем пять уравнений с восемью неизвестными усилиями.
Рассматривая геометрическую сторону задачи, получаем шесть уравнений, связывающих компоненты упругого перемещения и деформации оболочки.
Рассматривая физическую сторону задачи, приходим к шести соотношениям, связывающим усилия и деформации. Итак, напряженно-деформированное состояние тонкой оболочки определяется решением 17 уравнений при заданных
граничных условиях. Эти уравнения содержат 17 неизвестных: 8 усилий и 9 компонентов упругого перемещения и деформации.
В строительной практике встречаются задачи, напряженное состояние в которых характеризуется лишь нормальными N1 и N2 и сдвигающими S усилиями. Такое напряженное состояние называется безмоментным: оно статически определимо в бесконечно малом.
Если возникают значительные напряжения от изгиба, то для расчета тонкостенных пространственных конструкций используется моментная теория оболочек.
Ознакомление с применением моментной теории оболочек рекомендуется начать с задач о расчете круговых цилиндрических оболочек. Математический аппарат, используемый при их расчете, значительно упрощается. Прежде всего необходимо познакомиться с расчетом круглой цилиндрической оболочки при осесимметричном загружении (например, резервуар, наполненный жидкостью). Так как нижний край оболочки связан с днищем и не может свободно перемещаться,
то здесь возникают изгибающие моменты и поперечные силы. Напряженное состояние оболочки представляет собой сумму безмоментного и моментного состояний.
Линии на поверхности оболочки, где полностью или частично нарушаются условия существования безмоментного напряженного состояния, называют линиями искажения. Около линии искажения возникает быстро затухающее изгибное напряженное состояние, называемое краевым эффектом.
Напряженное состояние открытых цилиндрических оболочек, широко применяемых в строительной практике, существенным образом зависит от соотношений их размеров в плане, отношения пролета l к длине волны l1 . Различают
длинные оболочки, для которых l /l1 > 4 , оболочки средней длины 4 ≥ l /l1 ≥1 и короткие оболочки l /l1 ≤1. Длинную
оболочку можно рассчитывать как балку корытообразного сечения. Напряженное состояние такой оболочки в продольном направлении практически безмоментное, т.е. M1 = Q1 = 0. В оболочке средней длины становится существенным изгибное состояние вдоль волны; изгибом вдоль пролета можно пренебречь. Такое напряженное состояние называют полумоментным. Короткая оболочка полностью охвачена моментным состоянием как вдоль пролета, так и вдоль волны.
Полумоментная теория цилиндрических оболочек В. З. Власова основана на двух предположениях:
а) безмоментное напряженное состояние в продольном направлении M1 = Q1 = M12 = M21 = 0; б) отсутствие сдвигов и нерастяжимость оболочки в круговом направлении ε2 = γ = 0 .
Широкое распространение в различных областях получили пологие оболочки. Пологой называют оболочку, стрела подъема которой не превышает 1/5 наименьшего размера плана оболочки. Теория пологих оболочек, разработанная В. З. Власовым, построена на основе некоторых допущений, принятых в дополнение к основным гипотезам, положенным в основу расчета оболочек. Оболочку условно принимают настолько пологой, что геометрию ее поверхности можно приближенно считать совпадающей с геометрией плоскости ее проекции. В уравнениях равновесия пренебрегают моментными членами, содержащими в качестве коэффициентов выражения кривизны и их производные.
Вопросы для самопроверки
12Что называется оболочкой?
13Назовите основные гипотезы теории оболочек.
14Каковы условия существования безмоментного напряженного состояния?
15Приведите и объясните основные уравнения безмоментного напряженного состояния.
16Что такое краевой эффект?
17Что называется линией искажения?
18Каков порядок расчета оболочки вращения с учетом краевого эффекта?
19Приведите полный комплект уравнений теории оболочек.
20Рассмотрите и объясните различные граничные условия на краях оболочки.
21Как рассчитывают цилиндрические оболочки в зависимости от отношения пролета к длине волны?
22Приведите и объясните основные уравнения полумоментной теории цилиндрических оболочек. Какова модель
такой оболочки?
Т е м а 6
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
Л и т е р а т у р а: [1, §§ 4.07, 5.01 – 5.05, 6.01 – 6.08, 17.01 – 18.05, 18.11, 19.01 – 19.08, 20.01, 20.02, 20.04]; [2, гл. 22]; [4, §§ 18, 19, 23, 24, 27, 31, 32, 40 – 45, 58, 59, 64, 66, 67, 70, 72, 74 – 77, 83, 88 – 91, 92, 99, 100]; [6, гл. 11 – 14]; [7, §§ 58 – 65]; [8, §§ 1.5, 3.9, 6.5, 8.6, 8.7, 8.10, 12.9, 12.10].
Исходя из схематизированных диаграмм растяжения-сжатия материалов и учитывая, что при этом предел пропорциональности практически близок к пределу текучести, называют тело идеально пластическим, если площадка текучести имеет большое протяжение. Различают также модели тел: а) идеально упругопластического, б) жесткопластического. В первом теле площадка текучести простирается до бесконечности. Во втором теле пренебрегают упругой деформацией и принимают, что до предела текучести нет никаких деформаций, а после достижения напряжениями предела текучести площадка текучести простирается до бесконечности. В обоих телах после достижения σт диаграмма растяжения представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс.
При решении задач теории пластичности необходимо четко различать простое и сложное нагружения, процессы активной и пассивной деформаций. Наиболее распространенными критериями пластичности являются условия пластичности Сен-Венана и Мизеса. Теории пластичности можно разделить на две группы:
3)теории упругопластических деформаций;
4)теории пластического течения.
В первой группе устанавливаются связи между напряжениями и деформациями. Во второй группе устанавливаются зависимости между напряжениями и скоростями деформаций.
Относительно новой ветвью механики сплошных деформируемых сред является теория ползучести. Свойство ползучести материала состоит в том, что даже при постоянных нагрузках напряжения и деформации в материале изменяются во времени. Изменение во времени деформаций называется ползучестью или последействием. Изменение во времени напряжений называется релаксацией. Способность материала изменять во времени свое напряженно-деформированное состояние иногда называют вязкостью.
Ползучесть материала в качественном отношении хорошо отражают модели деформируемого тела Максвелла и Фойгта: первая представляет собой последовательное соединение упругого и вязкого элементов, а вторая – параллельное соединение упругого и вязкого элементов.
Для более глубокого изучения данной темы необходимо обратиться к литературе, указанной выше, а также ознакомиться с решением простейших задач по теории ползучести: изгиб вязкоупругой балки, кручение круглого бруса, труба под внутренним давлением, статически неопределимые системы и др.
Вопросы для самопроверки
10Чем отличаются друг от друга простое и сложное нагружения?
11Что представляют собой активная и пассивная деформации?
12Как формулируются условия пластичности Сен-Венана и Мизеса?
13Назовите и объясните основные законы теории малых упругопластических деформаций?
14Сколько неизвестных функций подлежит определению при решении задач пластичности и какими уравнениями мы для этого располагаем?
15Объясните явления ползучести и релаксации напряжений.
16Объясните суть моделей упруговязких тел Максвелла и Фойгта.
17В чем суть установившейся и неустановившейся ползучести?
18Объясните основное содержание наследственной теории ползучести и теории старения.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
З а д а ч а 1
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
З а д а н и е. Дана прямоугольная полоса-балка (рис. 1.1) длиной l , высотой h и толщиной, равной 1. Выражения для функции напряжений φ(x, y) и числовые значения выбрать из табл. 1.1. Объемными силами пренебречь. Требуется: 1)
проверить, можно ли предложенную функцию φ(x, y) принять для решения плоской задачи теории упругости; 2) найти выражения для напряжений σx , σy и τxy ; 3) построить эпюры напряжений σx , σy и τxy для сечений x = xc и y = yc ; 4) определить внешние силы (нормальные и касательные), приложенные ко всем четырем граням полосы-балки, дать их
y |
|
|
y |
|
o |
x |
h |
o |
z |
|
|
|||
|
l |
|
1 |
|
Рис. 1.1
изображение на рисунке полосы-балки; 5) выполнить статическую проверку для найденных внешних сил.
Таблица 1.1
|
№ |
Функция напряжений |
|
a |
b |
l |
h |
xс |
yс |
|
|
строки |
|
φ(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a(x4 |
− y4 )+bx3 y + xy |
3 |
1 |
1 |
5 |
1 |
1 |
0,2 |
|
ax(x |
2 + y2 )+bx2 y + xy |
||||||||
|
2 |
2 |
1 |
6 |
1 |
2 |
0,3 |
|||
|
ay(x |
2 + y2 )+bxy2 + xy |
||||||||
|
3 |
2 |
1 |
5 |
2 |
2 |
0,4 |
|||
|
ax3 +bx2 y + xy2 + xy |
|
||||||||
|
4 |
|
1 |
2 |
6 |
1 |
2 |
0,3 |
||
|
a(y4 |
− x4 )+bxy3 + x2 y |
||||||||
|
5 |
1 |
2 |
6 |
2 |
2 |
0,5 |
|||
|
ax4 − 3ax2 y2 +bxy3 |
|
||||||||
|
6 |
|
2 |
2 |
4 |
2 |
1 |
0,5 |
||
|
ax3 y − 3bx2 y2 +by4 |
|
||||||||
|
7 |
|
2 |
1 |
4 |
2 |
1 |
0,5 |
||
|
ax4 − 3(a +b)x2 y2 +by4 |
|||||||||
|
8 |
2 |
1 |
6 |
1 |
3 |
0,3 |
|||
|
axy3 + x3 + y3 −bxy |
|
||||||||
|
9 |
|
1 |
2 |
5 |
1 |
2 |
0,2 |
||
|
ax3 y + 3bx2 y2 −by4 |
|
||||||||
|
0 |
|
2 |
1 |
5 |
2 |
2 |
0,4 |
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
е |
|
|
|
|
д |
|
|
Методические указания
Предложенная для решения |
плоской |
задачи теории упругости |
функция φ(x, y) |
|
|
должна |
удовлетворять |
|||||||||||
бигармоническому уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂4φ |
+2 |
∂4φ |
|
+ |
∂4φ |
= 0 |
. |
|
(1.1) |
|||
|
|
|
|
|
|
∂x 4 |
∂x 2∂y2 |
|
∂y |
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Выражения для напряжений σx , |
σy и τxy |
решаемой задачи получают по следующим формулам: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
σx = |
∂2 |
φ |
; |
σy = |
∂2φ |
; |
|
τxy = − |
∂ |
2φ |
. |
(1.2) |
||||
|
|
∂y2 |
∂x2 |
|
∂x∂y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для определения внешних сил (нормальных и касательных), приложенных ко всем четырем граням полосы-балки используют |
||||||||||||||||||
условия на поверхности тела (условия на контуре тела или статические граничные условия): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
pxν = σx cos(x,ν)+ τxy |
cos(y,ν) ; |
|
|
(1.3) |
||||||||||||
|
|
pyν = τyx cos(x,ν)+ σy cos(y,ν) . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Здесь – pxν , pyν – проекции на оси Ox и Oy внешних сил, действующих на гранях полосы-балки; |
ν – нормаль к грани; |
|||||||||||||||||
cos(x,ν), cos(y,ν) – направляющие косинусы нормалиν. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для проверки найденных внешних сил можно использовать условия равновесия полосы-балки под их действием:
|
|
|
|
∑X = 0; ∑Y = 0; ∑M 0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 1. Задана полоса-балка (рис. 1.1). Функция напряжений: |
φ(x, y) = axy3 +bx3 y + cx2 , где a = 2, b = 1, c = 2. |
|||||||||||||||||||||
Размеры: l = 2 м; h = 1 м; xc = 1 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Проверка пригодности φ(x, y): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∂φ |
= ay |
3 |
+ 3bx2 y + 2cx; |
|
∂2φ |
= 6bxy |
+ 2c; |
|
∂3φ |
= 6by; |
|
∂4φ |
= 0; |
|||||||||
∂x |
|
|
∂x2 |
|
∂x3 |
|
∂x4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂φ |
|
= 3ay2 x +bx3; |
∂2φ |
|
= 6axy; |
|
∂3φ |
|
= 6ax; |
∂4φ |
= 0; |
|
|||||||||
|
∂y |
|
∂y2 |
|
∂y3 |
∂y4 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∂2φ |
= 3ay2 + 3bx2 ; |
|
∂3φ |
|
= 6bx; |
|
|
∂4φ |
|
= 0. |
|
|
|||||||
|
|
|
∂x∂y |
|
∂x2∂y |
|
|
∂x2∂y2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставляем найденные производные в уравнение (1.1): 0 + 2 0 + 0 = 0. |
Следовательно, заданное выражение |
|||||||||||||||||||||
тождественно удовлетворяет бигармоническому уравнению плоской задачи теории упругости и может быть принято для
решения этой задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Выражения для напряжений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
σx |
= |
∂2 |
φ |
= 6axy; |
σy |
= |
∂2φ |
|
= 6bxy + 2c; |
τxy = − |
∂2 |
φ |
|
= −3ay2 |
− 3bx2 . |
|
|
|||
|
∂y2 |
∂x2 |
∂x∂y |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
Построение эпюр напряжений в сечении x = xc |
= 1 м. При x = 1 имеем: σx |
= 6ay =12y; σy |
= 6y + 4; |
τxy = −6y2 − 3. |
||||||||||||||||
По |
указанным выражениям |
|
для напряжений, |
изменяя |
y от |
|
–h/2 |
до |
+h/2, |
строим |
их эпюры |
||||||||||
(рис. 1.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
σx |
|
σy |
|
|
|
τxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
7 |
4,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
h=1 O |
|
|
x |
0 |
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xc=1 |
|
|
|
6 |
|
|
1 |
|
4,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 Определяем внешние силы (нормальные и касательные), приложенные к граням балки (рис. 1.3). |
|
||||||||||||||||||||
Верхняя грань: |
|
|
|
|
|
|
|
y = h / 2 = 0,5 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
σx = 6x; σy = 3x +4; τxy = −15, −3x2 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
l = cos(x,ν)= cos(x,y)= 0; |
m = cos(y,ν) = cos(y, y) = 1; |
|
|
|
|||||||||||||
|
pвxν |
= σx 0 + τxy 1 = τxy = −15,− 3x2 ; |
pyвν = τxy 0 + σy 1 = σy = 3x + 4. |
|
|
||||||||||||||||
Для сил, нормальных pyвν |
и касательных pвxν |
к этой грани, строим их эпюры, изменяя x от 0 до l =2 м. |
|
||||||||||||||||||
Нижняя грань: |
|
|
|
|
|
|
|
y = −h / 2 = −0,5 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
σx |
= −6x; |
|
σy |
= −3x + 4; |
τxy = −15,−3x2 ; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
l = cos(x,ν)= cos(x,−y)= 0; |
m = cos(y, ν) = cos(y,−y) = −1; |
|
|
|
|||
pxнν = σx 0 + τxy (−1) = −τxy = 15,+ 3x2 ; |
pнyν = τxy 0 + σy (−1) = −σy = 3x − 4. |
|
|
|
|||||
Для сил, нормальных pнyν и касательных pxнν |
к этой грани, строим их эпюры, изменяя x от 0 до l =2 м. |
|
|||||||
Левая грань: |
|
|
|
x = 0; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
σx = 0; σy = 4; τxy = −6y2 ; |
|
|
|
||||
|
|
l = cos(x,ν)= cos(x,−x )= −1; |
m = cos(y,ν) = cos(y,−x) = 0; |
|
|
|
|||
|
pxлν = σx (−1) + τxy 0 = −σx = 0; |
pyлν = τxy (−1) + σy 0 = −τxy = 6y2 . |
|
|
|
||||
Для сил, нормальных |
pxлν |
и касательных |
pyлν к |
этой грани, строим их эпюры, изменяя y |
от |
−h / 2 = −0,5 м |
до |
||
h / 2 = 0,5 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правая грань: |
|
|
|
x = l = 2; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
σx = 24y; σy |
= 4 +12y; τxy = −6y2 −12; |
|
|
|
|||
|
|
l = cos(x,ν)= cos(x,x )=1; |
m = cos(y,ν) = cos(y, x) = 0; |
|
|
|
|||
|
pпxν |
= σx 1+ τxy 0 = σx = 24y; |
pyпν |
= τxy 1+ σy 0 = τxy = −6y2 −12. |
|
|
|
||
Для сил, нормальных |
pпxν |
и касательных |
pyпν к этой грани, строим их эпюры, изменяя y |
от |
−h / 2 = −0,5 м |
до |
|||
h / 2 = 0,5 м. Эпюры сил, действующих на все четыре грани, приведены на рис. 1.3.
1,5 |
Pxвν |
|
|
|
13,5 |
|
10 |
4 |
Pyвν |
|
Pyлν |
Pxлν |
|
|
|
|
|
Pxпν 12 |
13,5 |
Pyпν |
|
|||
0 |
|
0 |
|
|
h |
0 |
12 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
12 |
|
13,5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Pyнν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1,5 |
|
Pxнν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
Проверяем условия равновесия полосы-балки под действием внешних сил: |
|
|||||||||||
|
|
|
Рис. 1.3 |
|
|
l |
|
|
+h /2 |
|
|||
|
|
|
|
|
∑X = ∫ |
(Pxвν +Pxнν )dx + |
∫(Pxлν +Pxпν )dy; |
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
−h /2 |
|
||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
+h /2 |
|
l |
+h /2 |
|
|
|
∑X = ∫(−1,5 −3x 2 +1,5 + 3x 2 )dx + |
∫(0 + 24y)dy = ∫0dx + |
∫24ydy = 0; |
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
−h /2 |
|
0 |
−h /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
+h /2 |
|
||
|
|
|
|
|
∑Y = ∫ |
(Pyвν +Pyнν )dx + |
∫ |
(Pyлν +Pyпν )dy; |
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
−h /2 |
|
||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
+h / 2 |
|
||||
|
|
|
|
∑Y = ∫(3x + 4 +3x −4)dx + ∫(6y2 −6y2 −12)dy; |
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
−h / 2 |
|
||
|
|
|
|
|
∑Y =3l2 −12h = 3 22 −12 1=12 −12 = 0; |
|
|||||||
|
|
∑M 0 |
= l |
(Pxвν −Pxнν ) |
h |
− (Pyвν + Pyнν )x dx + +h /[2(Pxлν + Pxпν )y + Pyлν0 −Pyпνl]dy; |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
2 |
|
|
|
|
∫ |
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
−h / 2 |
|
|
|
|
|
∑M 0 = l |
(−1,5 −3x 2 −1,5 −3x 2 ) |
h |
− (3x + 4 +3x −4)x dx + |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
++h∫/[2(0 +24y)y +6y2 0 −(−6y2 −12)l]dy;
−h /2
|
|
∑M 0 |
= − |
3hl |
|
− hl3 −2l3 + |
|
8h3 |
+ |
2lh3 |
+12lh = |
||||||||
|
|
2 |
|
4 |
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= − |
3 |
1 2 |
−1 2 |
3 |
−2 2 |
3 |
+ |
8 13 |
+ |
2 |
2 13 |
|
+12 2 1=27 −27 = 0. |
||||||
|
2 |
|
|
4 |
|
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Условия равновесия выполняются.
З а д а ч а 2
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ ТЕЛА
З а д а н и е. Стальной кубик находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние (рис. 2.1). Требуется найти: 1) главные напряжения и направления главных площадок; 2) максимальные касательные напряжения; 3) относительные деформации εx , εy , εz ; 4) относительное изменение объема; 5) удельную потенциальную энергию
деформации. Данные взять из табл. 2.1.
σy 
τ
σx τ
τσx
|
|
|
|
τ |
|
σy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
σx |
σy |
τ |
|
№ |
σx |
σy |
τ |
|
|
|
строки |
|
|
|
|
строки |
|
|
|
|
|
|
|
МПа |
|
|
|
МПа |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
10 |
10 |
10 |
|
6 |
-60 |
-60 |
-60 |
|
|
|
2 |
20 |
20 |
20 |
|
7 |
-70 |
-70 |
-70 |
|
|
|
3 |
30 |
30 |
30 |
|
8 |
-80 |
-80 |
-80 |
|
|
|
4 |
40 |
40 |
40 |
|
9 |
-90 |
-90 |
-90 |
|
|
|
5 |
50 |
50 |
50 |
|
0 |
-100 |
-100 |
-100 |
|
|
|
|
а |
б |
в |
|
|
а |
б |
в |
|
|
Методические указания
Угол наклона главных площадок находят по формуле
2τ
tg 2α = σx − σy .
Эта формула дает два взаимно перпендикулярных направления с углами и . Здесь положительное направление для отсчета углов принято против часовой стрелки.
Уравнения для главных напряжений на соответствующих площадках имеют вид
σ |
α |
= σ |
x |
cos2 α + σ |
y |
sin2 |
α + τsin 2α; |
|
|
|
|
|
σα+90o = σx sin2 α + σy cos2 α − τsin 2α.
Значения главных напряжений можно найти иначе:
σmax/ min = |
σ |
|
+ σ |
y ± |
|
σ |
|
− σ |
|
2 |
|
x |
2 |
|
|
x |
2 |
y |
+ τ2 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Максимальные касательные напряжения возникают на площадках, наклоненных под углом 45 к главным, и равны полуразности главных напряжений:
τmax = |
σ |
|
− σ |
min = |
σx |
− σy |
2 |
|
max |
2 |
|
|
+ τ2 . |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
Для вычисления деформаций εx , εy , εz по известным нормальным напряжениям σx , σy , σz используют обобщенный закон Гука. При σz = 0 имеем
εx = |
1 |
(σx − µσy ) ; |
εy = |
1 |
(σy − µσx ) ; |
εz |
= − |
µ |
(σx + σy ) . |
|
E |
E |
E |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Здесь Е – модуль упругости; – коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона).
Относительное изменение объема
θ = εx + εy + εz .
Удельная потенциальная энергия деформации
u = 21E (σ2max + σ2min − 2µσmaxσmin ).
Пример 2. Стальной кубик (рис. 2.2) находится в плоском напряженном состоянии: x = 160 МПа; y = 120 МПа; = – 60 МПа. Требуется найти: положения главных площадок; значения главных напряжений; максимальные касательные напряжения; относительные деформации εx , εy , εz ; относительное изменение объема; удельную потенциальную энергию
деформации.
Для стали принимаем: модуль упругости Е = 2 105 МПа; коэффициент Пуассона = 0,3 . Р е ш е н и е.
Определяем положения главных площадок
tg 2α = |
|
2τ |
= |
|
2 (−60) |
= −3 , |
|
σx |
− σy |
120 − 160 |
|||||
|
|
|
|||||
следовательно, 2α = –71°34'; α = –35°47'; α = –(35°47' + 90°) = –125°47'.
Отрицательное значение углов наклона главных площадок указывает на то, что поворот должен осуществляться по ходу часовой стрелки от направления оси x (рис. 2.2).
Находим значения главных напряжений
|
|
|
|
|
σmax/ min = |
σ |
x |
+ σ |
y |
|
|
σ |
x |
− σ |
y |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
± |
|
|
2 |
|
+ τ2 ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
σmax/ min |
= |
160 + 120 |
± |
|
160 − 120 2 |
+ 602 |
|
= 140 ± 63 lo= ; |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
σmax = 140 + 63 = 203 lo= ; |
|
σmin |
= 140 − 63 = 77 lo= . |
|||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ σy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σmax |
σ45° |
|
|
σmin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
τmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
τmax |
|
|
|
σ45° |
|
|
σx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
σx |
σ45° |
|
|
τmax |
|
|
τ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
τmax |
|
σmax |
35o47′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
135o |
|
|
|
σ45° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σmin |
|
|
45o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σy |
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125o47′
Рис. 2.2
Определяем максимальные касательные напряжения
τmax = |
|
σmax − σmin |
|
= |
203 − 77 |
|
|
= 63 lo= |
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
и соответствующие нормальные напряжения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
σ |
45 |
o |
|
= |
|
σmax + σmin |
|
|
= |
203 + 77 |
|
= 140 lo= . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
Вычисляем относительные деформации εx , |
|
εy , εz : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
εx = |
1 |
|
(σx − µσy )= |
160 - 0,3 120 |
|
|
= 62 10-5 ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
E |
|
|
|
|
|
2 10 |
5 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
εy = |
|
1 |
(σy −µσx )= |
120-0,3 160 |
|
= 36 10-5 ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
2 105 |
|
|
|
|
||||||||
εz |
= − |
|
µ |
|
|
(σx +σy )= - |
0,3(160+120) |
= -42 10-5 . |
||||||||||||||||
|
E |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 105 |
|
|
|
|
||||||
Находим относительное изменение объема
θ = εx + εy + εz = 62 10−5 +36 10−5 −42 10−5 = 56 10−5 .
Определяем удельную потенциальную энергию деформации
|
u = |
1 |
|
(σ2max + σ2min −2µσmax σmin ); |
|
2E |
|||
|
|
|
||
u = |
2032 +772 −2 0,3 |
203 77 = 0,0943985 МПа = 94398,5 Дж/м3 . |
||
|
2 2 105 |
|
|
|
З а д а ч а 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕМНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
ВТОЧКЕ ТЕЛА
За д а н и е. Напряженное состояние в точке тела задано девятью компонентами: (рис. 3.1). Требуется: 1) определить главные напряжения и проверить правильность их нахождения; 2) определить положение одной из главных площадок (вычислить направляющие косинусы нормали к этой площадке); 3) определить положения двух других главных площадок (вычислить направляющие косинусы нормалей к этим площадкам). Это требование выполняется факультативно; 4) показать на рисунке нормали к главным площадкам. Числовые данные взять из табл. 3.1.
Таблица 3.1
№ |
x |
y |
z |
xy |
yz |
zx |
|
|
|
|
z |
σz |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
τyz |
|
τxz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τzx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τzy |
τxy τyx |
σx |
|
||
|
|
|
|
|
σy |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
o |
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.1 |
|
|
|
||
|
строки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МПа |
|
|
|
||
|
1 |
30 |
-30 |
|
30 |
|
-30 |
|
30 |
-30 |
|
2 |
40 |
-40 |
|
40 |
|
-40 |
|
40 |
-40 |
|
3 |
50 |
-50 |
|
50 |
|
-50 |
|
50 |
-50 |
|
4 |
60 |
-60 |
|
60 |
|
-60 |
|
60 |
-60 |
|
5 |
70 |
-70 |
|
70 |
|
-70 |
|
70 |
-70 |
|
6 |
80 |
-80 |
|
80 |
|
-80 |
|
80 |
-80 |
|
7 |
90 |
-90 |
|
90 |
|
-90 |
|
90 |
-90 |
|
8 |
100 |
-100 |
|
100 |
|
-100 |
|
100 |
-100 |
|
9 |
110 |
-110 |
|
110 |
|
-110 |
|
110 |
-110 |
|
0 |
120 |
-120 |
|
120 |
|
-120 |
|
120 |
-120 |
|
|
а |
б |
|
в |
|
г |
|
д |
е |
Методические указания
Главные напряжения в задаче на исследование напряженного состояния в точке тела находят, решая кубическое уравнение
Здесь коэффициенты являются инвариантами преобразования координат: |
σ3 − J1σ2 + J2σ − J3 = 0 . |
|
(3.1) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
J1 = σx + σy + σz = const; |
|
|
|
||||||||||
|
|
J2 = σx σy + σy σz |
|
+ σzσx − τ2xy |
− τ2yz − τ2zx |
= const; |
(3.2) |
||||||||
|
|
J3 = σx σy σz +2τxy τyz τzx |
−σx τ2yz −σy τ2zx |
−σz τ2xy = const . |
|
||||||||||
Уравнение (3.1) подстановкой σ = y + |
J1 |
приводим к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
y3 + py + q = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.3) |
|||||
Здесь новые коэффициенты соответственно равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
J12 |
|
|
|
2 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
p = J2 |
− |
|
|
; |
q = − |
|
J1 |
+ |
|
|
J1J2 |
− J3 . |
(3.4) |
|
|
3 |
|
27 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Корни кубического уравнения (3.3) выражаем через вспомогательный угол ϕ , определяемый из равенства cos ϕ = |
q |
, где |
|||||||||||||||||||
2r 3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r = p / 3 . Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 = −2r cos |
ϕ |
; |
y2 |
|
|
60 |
o |
− |
ϕ |
y3 = |
|
o |
+ |
ϕ |
|
(3.5) |
|||||
3 |
= 2r cos |
|
; |
2r cos 60 |
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
Проверка |
|
|
|
|
|
y1 + y2 + y3 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
(3.6) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Главные напряжения равны: |
|
|
|
J1 |
|
|
|
|
|
J1 |
|
|
|
J1 |
|
|
|
|
|
|
|
σ′ = y1 |
+ |
; |
σ′′ = y2 + |
; |
σ′′′ |
= y3 + |
. |
|
|
|
(3.7) |
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
Этим трем главным напряжениям в дальнейшем присваиваем обозначения σ1 , |
σ2 , |
σ3 , где σ1 ≥ σ2 |
≥ σ3 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Контроль правильности решения кубического уравнения (3.1) проводим, используя инвариантность коэффициентов J1 , |
|||||||||||||||||||||
J2 , J3 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J1 = σ1 + σ2 + σ3 ; |
J2 |
= σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1 ; J3 = σ1σ2σ3 . |
|
(3.8) |
|||||||||||||||||
Для определения положения главных площадок вычисляем направляющие косинусы нормалей к главным площадкам l,
m , n . Соответствующую систему однородных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(σx −σ)l + τxy m + τxz n = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τyx l + (σy −σ)m + τyz n = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τzx l + τzy m + (σz −σ)n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удобно представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(σx |
−σ) |
l |
+ τxy |
m |
= −τxz ; |
|
|||
n |
n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
τyx |
|
l |
+ (σy −σ)m |
= −τyz ; |
(3.9) |
||||
|
|
||||||||
|
|
n |
|
n |
|
|
|||
τzx |
l |
|
+ τzy |
m + (σz −σ)= 0. |
|
||||
n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
l / n и m / n |
из решения двух |
||
В системе (3.9) из трех уравнений только два независимые, поэтому, |
|
определив |
|||||||
уравнений, третье уравнение используем для контроля найденных отношений l / n |
и m / n . Решение системы (3.9) в общем |
|||||||||
виде |
|
|
|
|
|
(σy −σ)τxz − τxy τyz |
|
|
||
|
|
|
l |
= |
, |
(3.10) |
||||
|
|
|
n |
τxy |
2 −(σx −σ)(σy −σ) |
|
||||
m |
|
(σx −σ)τyz − τxy τxz |
|
|
|
|
|
|
||
n |
= |
|
. |
|
|
|
|
|||
τxy 2 −(σx −σ)(σy −σ) |
|
|
|
|
||||||
Вычислив l / n и m / n , далее, из соотношения между квадратами направляющих косинусов |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
(l / n)2 + (m / n)2 +1=1/ n2 |
(3.11) |
||||
находим два корня ±n . Для дальнейшего расчета достаточно оставить только один корень, например, |
+n . Соответствующие |
|||||||||
знаки и величины l и m определяем из отношений |
l / n и m / n . Полученные l , m , n можно рассматривать как координаты |
||
некоторой точки А (рис. 3.2), лежащей на нормали ν к соответствующей главной площадке. |
l1 , m1 , n1 , а |
||
Если направляющие косинусы нормали ν1 |
к площадке главного напряжения σ1 обозначить через |
||
нормалей ν2 , ν3 – соответственно через l2 , m2 , |
n2 |
и l3 , m3 , n3 , то из условия взаимной перпендикулярности нормалей к |
|
главным площадкам получим три контрольных равенства: |
|
||
|
|
l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0; |
|
|
|
l2l3 + m2m3 + n2n3 = 0; |
(3.12) |
|
|
l3l1 + m3m1 + n3n1 = 0. |
|